Page 110 - Demo

108MATEMATIKA 12Vektorët drejtues të tyre janë përkatësisht v 1 = 1k1 dhe v 2 = 1k2. Kemi:d1 // d2 ⇔ v 1 // v 2 ⇔ 11 = k1k2⇔ k1 = k2.d1 ⊥ d2 ⇔ v 1 ⊥ v 2 ⇔ v 1 · v 2 = 0 ⇔ 1 · 1 + k1 · k2 = 0 ⇔ k1 · k2 = −1 ⇔ k2 = − 1k1Si përfundim:Kur drejtëzat janë dhënë me ekuacione me koeficient këndor:Dy drejtëza janë paralele atëherë dhe vetëm atëherë kur k1 = k2.Dy drejtëza janë pingule atëherë dhe vetëm atëherë kur k1 · k2 = –1.Shembulli 1Në fig. 4.13, ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij: A(2; –1), B(4; 3) dhe D(–2; 5).a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij.b) Të gjenden koordinatat e kulmit C.ZgjidhjeKemi: a) Ekuacioni i brinjës AB është:x − xAxB − xA = y − yAyB − yA⇒ x − 24 − 2 = y + 13 + 1⇒ AB: 2x − y − 5 = 0.Në mënyrë analoge, gjejmë ekuacionin e brinjës AD. Kemi: AD: 3x + 2y – 4 = 0.Gjejmë koordinatat e vektorit ABAB = xB − xAyB − yA = 4 − 23 + 1 = 24 . Ky vektor shërben si vektor drejtues për DC. Atëherë, kemi: x + 22 = y − 54⇒ DC: 2x – y + 9 = 0. Në mënyrë analoge, gjendet ekuacioni i brinjës BC. Kemi: BC: 3x + 2y – 18 = 0.b) Koordinatat e kulmit C gjenden si pikëprerje e brinjëve DC dhe BC. Kemi:C: {2x − y + 9 = 03x + 2y − 18 = 0 ⇒ {x = 0x = 9 ⇒ C(0; 9).Shembulli 2:Tregni që pikat P(6; 2), Q(–2; 10), R(–10; 2) dhe S(–2; –6) janë kulme të një katrori.Zgjidhje: Gjejmë ekuacionet e brinjëve të këtij katërkëndëshi: Ekuacioni PQ:x − xPxQ − xP = y − yPyQ − yP⇒ x − 6−2 − 6 = y − 210 −2⇒ x + y –8 = 0 ⇒ y = – x + 12Ekuacioni QR:x − xRxQ − xR = y − yRyQ − yR⇒ x + 10−2 + 10 = y − 210 −2⇒ x – y + 12 = 0 ⇒ y = x + 12Fig. 4.13A BD C