Page 115 - Demo

4. PIKA DHE DREJTËZA NË PLANIN KOORDINATIV113Koeficienti këndor i drejtëzës BC është kBC = 4 − 00 − 4 = –1. Përmesorja e segmentit BC ka koeficient këndor 1. Mesi N i segmentit BC ka koordinata: xN = xC + xB2 = 0 + 42 = 2 dhe yNyC + yB2 = 4 + 02 = 2 ⇒ N (2; 2).Ekuacioni i përmesores së segmentit BC është y – 2 = (x – 2), d.m.th. y = x.Koordinatat e qendrës së rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit i gjejmë duke zgjidhur sistemin{x + y = 0y = x⇒ x = 0; y = 0. Pra, qendra e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit ABC është O(0; 0).Simetrikja e një pike të dhënë kundrejt një drejtëze të dhënëShembulli 3Të gjendet pika simetrike e pikës M(3; –2) në lidhje me drejtëzën që kalon nga pikat A(1; 3) dhe B(–1; 5). (fig. 4.20)ZgjidhjeKërkohen koordinatat e pikës N. Meqë pikat M dhe N janë simetrike në lidhje me drejtëzën AB, kemi MN ^ AB dhe ME = EN.− Gjejmë fillimisht ekuacionin e drejtëzës AB (ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna):x − xAxB − xA = y − yAyB − yA⇒ x − 1− 1 − 1 = y − 35 − 3⇒ AB : x + y − 4 = 0. − Gjejmë ekuacionin e drejtëzës MN (ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë pingule me një drejtëz të dhënë):x − xMa = y − yMb ⇒ x − 31 = y + 21⇒ MN : x − y − 5 = 0.− Gjejmë pikëprerjen E të drejtëzave AB dhe MN. Kemi:E : {x + y − 4 = 0x − y − 5 = 0 ⇒x = 92y = − 12⇒ E( 92; − 12)− Së fundi, gjejmë koordinatat e pikës N, simetrike të pikës M, duke ditur se pika E është mesi i segmentit MN. Kemi:xE = xM + xN2⇒ xN = 2 · xE− xM = 2 · 92 − 3 = 6yE = yM + yN2⇒ yN = 2 · yE− yM = 2 · (− 12) + 2 = 1, nga ku N (6; 1).Shembulli 4Për ç’vlerë të m drejtëzat 3x – 4y + 15 = 0, 5x + 2y – 1 = 0 dhe mx – y = 0 kalojnë nga e njëjta pikë?Zgjidhje: Për të gjetur vlerën e kërkuar të m, fillimisht duhet të gjejmë pikëprerjen e dy drejtëzave të para. Formojmë sistemin:{3x – 4y + 15 = 05x + 2y − 1 = 0 ⇒ {3x – 4y + 15 = 010x + 4y − 2 = 0 13x + 13 = 0 ⇒ x = –1Fig. 4.20ANEMB