Page 117 - Demo

4. PIKA DHE DREJTËZA NË PLANIN KOORDINATIV1154.11 Këndi ndërmjet dy drejtëzaveA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Jepen drejtëzat x – y + 5 = 0 dhe x + y – 1 = 0.a) Gjeni vektorët drejtues të tyre.b) Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave.B Vrojtoni dhe mësoniJepen drejtëzat d1 dhe d2 me ekuacione: d1: y = k1x + t1 dhe d2: y = k2x + t2 (fig. 4.21). Kërkohet këndi j ndërmjet tyre.Drejtëza d1 është paralele me vektorin v1 = 1k1 dhe drejtëza d2është paralele me vektorin v2 = 1k2. Në këtë mënyrë, këndindërmjet drejtëzave d1 dhe d2 është i barabartë me këndin ndërmjet vektorëve v1 dhe v2. Kemi: cosφ = v1 · v2|v1| · |v2| . Por v1 · v2 = 1 · 1 + k1 · k2 = 1 + k1 · k2 dhe|v1| = 1 + k21 ; |v2| = 1 + k22 nga ku del qëcosφ = 1 + k1 · k21 + k21 · 1 + k22. Kjo formulë nuk është e përshtatshme për llogaritje.Vërtetohet që nga formula cosφ = 1 + k1 · k21 + k21 · 1 + k22 rrjedh formula tgφ = ± | k1 − k21 + k1 · k2|.VërtetimKemi:tg2φ = 1cos2φ − 1 = (1 + k21) (1 + k22)(1 + k1 · k2)2 − 1 = 1 + k21 + k22 + k21 · k22 − (1 + k1 · k2)2(1 + k1 · k2)2 = = 1 + k21 + k22 + k21 · k22 − 1 − 2k1 · k2 − k21 · k22(1 + k1 · k2)2 = k21 −2k1 · k2 + k22(1 + k1 · k2)2 = (k1 −k2)2(1 + k1 · k2)2 nga ku tgφ = ± | k1 − k21 + k1 · k2|Në qoftë se në këtë barazim marrim shenjën (+), atëherë kemi gjetur këndin e ngushtë ndërmjet dy drejtëzave dhe në qoftë se marrim shenjën (–) kemi gjetur këndin e gjerë ndërmjet tyre.Shembulli 1Jepen drejtëzat d1: y = mx – 3; d2: y = 2x + 3; d3: y = –x – 1 dhe d4: y = 4x + 1. Këndi i ngushtë ndërmjet dy drejtëzave të para është i barabartë me këndin e ngushtë ndërmjet dy drejtëzave të tjera. Të gjendet m.ZgjidhjeGjejmë këndin e ngushtë a ndërmjet drejtëzave d3 dhe d4. Kemi:tg a = | k1 − k21 + k1 · k2| = | − 1 − 41 + ( − 1) · 4 | = |−5−3| = 53Gjejmë këndin e ngushtë b ndërmjet dy drejtëzave të para. Kemi: tgß = m − 21 + 2m.Por a = b ⇒ tgα = tg ß nga ku: m − 21 + 2m = 53 ⇒ 3m − 6 = 5 + 10m ⇒ m = − 117yϕϕO xd1d2v1v2Fig.4.21