Page 125 - Demo

5. FUNKSIONI NUMERIK1235.1 Funksione që kanë limit 0, kur x → a (Funksionet p.m.v.) A Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Është dhënë funksioni f : y = (x − 2)2, x ÎR.1. Plotësoni tabelat: a) x 1,9 1,99 1,999 ··· b) x 2,1 2,01 2,001 ···f(x) ··· f(x)Çfarë vini re? Cilit numri i afrohen vlerat e funksionit, kur vlerat e x i afrohen numrit 2? 2. Si mjafton të jetë |x – 2| që të kemi |f(x) – 0| < 0,0001? Po që të kemi |f(x) − 0| < ε, ku ε është një numër pozitiv i dhënë? B Vrojtoni dhe mësoniShembulli 1Në figurën 5.1 janë dhënë grafikët e tri funksioneve: f : y = (x − 2)2; g : y = {(x − 2)2 për x ≠ 21 për x = 2 h : y = (x − 2)2 për x ≠ 2.h0 1122-1-1 -2-233445566yxg0 1122-1-1 -2-233445566yxf0 1122-1-1 -2-233445566yxFig. 5.1 Funksioni h nuk është i përcaktuar për x = 2, kurse funksioni g është i përcaktuar për x = 2, por g (2) ≠ 0. Për x ≠ 2 kemi h(x) = g(x) = f(x) = (x – 2)2. Vëmë re që për vlera të x mjaft afër 2, por të ndryshme nga 2, vlerat e funksioneve f(x), g(x), h(x) janë sa të duam afër zeros. Kështu, nëse duam që |f(x)| < 10–4, |g(x)| < 10–4, |h(x) < 10–4, mjafton të shqyrtojmë vlera të x ≠ 2, të tilla që |x – 2| < 10–2. Nëse duam që |f(x)| < ε, |g(x)| < ε, |h(x)| < ε (ku ε është një numër pozitiv i dhënë), mjafton të shqyrtojmë x ≠ 2, i tillë që |x − 2| < ε. Themi që funksionet f, g dhe h kanë limit numrin zero, kur x → 2 (ndonëse h nuk është i përcaktuar në pikën x = 2, kurse g është i përcaktuar në këtë pikë, por g(2) ≠ 0). Vëmë re që në figurat e dhëna, pika e lëvizshme M(x; y) në secilin nga grafikët e funksioneve f, g, h i afrohet pambarimisht pikës A(2; 0), kur vlerat e x i afrohen pambarimisht numrit 2 (d.m.th. kur |x – 2| bëhet pambarimisht afër zeros), pavarësisht se pika A(2; 0) nuk është as në grafikun e g, as në grafikun e h. Le të kemi, në rastin e përgjithshëm, një funksion numerik të përcaktuar në të gjitha pikat e një intervali që përmban numrin a, me përjashtim ndoshta të pikës x = a.