Page 126 - Demo

124MATEMATIKA 12Teorema 1Shuma e dy funksioneve që janë p.m.v. kur x → a është p.m.v kur x → a. Pra, nëse limx → a f(x) = 0 dhe limx → a g(x) = 0, atëherë edhe limx → a [f(x) + g(x)] = 0. Teorema 2Prodhimi i dy funksioneve që janë p.m.v. kur x → aështë p.m.v. kur x → a. Pra, nëse limx → a f(x) = 0 dhe limx → ag(x) = 0, atëherë edhe limx → a [f(x) · g(x)] = 0. Teorema 3Prodhimi i një konstanteje me një p.m.v. kur x → aështë një p.m.v kur x → a. Pra, nëse limx → a f(x) = 0 dhe k është konstante, atëherë limx → a[k · f(x)] = 0. Teorema 4Nëse për çdo x ≠ a nga intervali (a – r, a + r) kemi f(x) ≤ g (x) ≤ h (x) dhe limx → a f(x) = limx → a h(x) = 0, atëherë edhe limx → a g(x) = 0. Shembulli 3Kemi limx → 2 (x – 2)2 = 0 dhe limx → 2 (x – 2) = 0. Prandaj mund të shkruajmë: 1. limx → 2 [(x – 2)2 + (x – 2)] = 0 (T1)2. limx → 2 (x – 2)2 · (x – 2) = 0 (T2) 3. limx → 212 (x – 2)2 = 0 (T3) Përkufizim Themi që funksioni f ka limit numrin zero, kur x → a, nëse vlerat e këtij funksioni mund të bëhen sa të duam afër numrit 0, kur vlerat e x zgjidhen mjaft afër numrit a, por të ndryshme nga a. Kjo do të thotë që: Sido që të na jepet një numër pozitiv ε (sado i vogël), gjejmë një numër pozitiv r, të tillë që për x ≠ r, nga intervali ]a – r, a + r[ të kemi |f(x) − 0| < ε. Në këtë rast, shënojmë limx → a f(x) = 0 (lexohet limiti i f(x) është zero, kur x shkon në a). Shembulli 2 Të vërtetojmë që funksioni y = (x – 2)2 + 2 nuk ka limit zeron kur x → 2. Kemi |f(x)| = |(x – 2)2 + 2| > 2 për çdo x ≠ 2. Pra, |f(x)| > 2 për çdo x ≠ 2. Prandaj, po të marrim p.sh. ε = 2 , është e pamundur të gjendet r, në mënyrë që për x ≠ 2 nga ]2 – r, 2 + r[ të kemi |f(x)| < ε. Vërtetohet lehtë që: 1. Funksioni y = 0 ka limit 0, kur x → a, sidoqoftë a. 2. Funksioni y = (x − a)2 (x ∈R) ka limit 0, kur x → a. Funksionet që kanë limit zeron (kur x → a, x → 0 ose x → +∞) quhen funksione pambarimisht të vogla (p.m.v) përkatësisht kur x → a, x → 0, x → +∞. Vetitë e funksioneve p.m.v. Vetitë e mëposhtme ne do t’i formulojmë për funksionet që janë p.m.v. kur x → a. Por ato janë të vlefshme edhe për funksionet që janë p.m.v. kur x → +∞ (x → −∞). Këto teorema do t’i pranojmë pa vërtetim.