Page 127 - Demo

5. FUNKSIONI NUMERIK125USHTRIMEC Ushtrohuni duke zbatuar 1. Në figurën 5.2 është dhënë grafiku i funksionit y = (x – 1)2 + 1. A mund të themi, duke shqyrtuar grafikun, që ky funksion ka limit zeron, kur x → 1? 2. Vërtetoni që limx → +∞sinxx = 0. 1 Është dhënë funksioni f: y = x − 12 . a) Si mjafton të merret (x – 1) që të kemi |f(x)| < 11000? b) Si mjafton të merret (x – 1) që të kemi |f(x)| < ε, ku ε është një numër pozitiv i dhënë?c) A është i saktë shënimi limx → 1 f(x) = 0? 2 Të njëjtat kërkesa për funksionin: a) y = 3(x – 1);b) y = (x – 1)3. 3 Duke parë grafikët e funksioneve të mëposhtme (fig. 5.3), tregoni nëse ato kanë limit 0, kur x → 1. 4 Tregoni që limx → 1 |x – 1| = 0. 5 Ndërtoni grafikun e funksionit të mëposhtëm dhe tregoni nëse ai ka limit, kur x → 2.a) y = {x − 2 për x ≥ 22 − x për x < 2 b) y = {(x − 2)2 për x ≠ 24 për x = 2c) y = {|x − 2| për x ≠ 21 për x = 2 d) y = { x − 2 për x < 02 − x për x < 06 Në figurën 5.4 është dhënë grafiku i funksionit y = |x|. a) A është funksioni p.m.v. në pikën x = 0?b) Vërtetoni që limx → 0 f(x) = 0. 0yx 0y0 xy0 xy0 xyx 0ya) b) c) d) e)111 1 1Fig. 5.37 Duke përdorur vetitë e funksioneve p.m.v., vërtetoni që: a) limx → 0 (x + x2 + x3) = 0;b) limx → +∞1x2 + 1x3 = 0; c) limx → 2 5(x – 2)n = 0. 8 Vërtetoni që:a) limx → 0 (x · sin2x) = 0; b) limx → 0 (x3 · cosx) = 0. 9 Duke përdorur vetitë e funksioneve p.m.v., vërtetoni që: a) limx → 0 [x(x2 + 5)] = 0;b) limx → +∞ [ 1 + 1x1x2] = 0;c) limx → +∞ [ 3 − 1x1 + 1x1x] = 0. Udhëzim. Kryeni më parë shumëzimet. Shembulli 4 Të vërtetohet që limx → 0 (x2 · sinx) = 0. Vërtetim Për çdo x∈R, kemi −1 ≤ sinx ≤ 1.Duke shumëzuar të tria gjymtyrët me x2 ≥ 0, marrim − x2 ≤ x2 sinx ≤ x2. Por limx → 0 x2 = 0 dhe limx → 0 ( –x2) = 0. Nga mosbarazimi i mësipërm, në bazëtë teoremës 4, nxjerrim që limx → 0(x2 · sinx) = 0. Fig. 5.20 1122yxFig. 5.40y1 1 x1