Page 129 - Demo

5. FUNKSIONI NUMERIK127Përkufizim Themi që funksioni f ka limit numrin l, kur x → a, nëse vlerat e këtij funksioni mund të bëhen sa të duamafër numrit l, kur vlerat e x zgjidhen mjaft afër numrit a, por të ndryshme nga a. Kjo do të thotë që: Sido që të na jepet një numër pozitiv ε (sado i vogël), gjejmë një numër pozitiv r të tillë që për x ≠ r, nga intervali ]a – r, a + r[ të kemi: |f(x) – l| <ε. Në këtë rast, shënojmë limx → a f(x) = l dhe lexojmë: “limiti i f(x) kur x shkon në a është l”.Nëse shënojmë me α diferencën e funksionit f me numrin l, [α (x) = f(x) − l], vëmë re se kur |f(x) − l| < ε, kemi |α(x)| < ε dhe anasjellas. Duke pasur parasysh përkufizimin e p.m.v., arrijmë në këtë përfundim: Teorema 5Funksioni f ka limit numrin l, kur x → a, atëherë dhe vetëm atëherë kur funksioni α = f − l është p.m.v., kur x → a. Ndryshe: Që limx → a f(x) = l duhet dhe mjafton që f(x) − l = α (x), ku limx → a α(x) = 0. Ndryshe shkruajmë: [ limx → a f(x) = l] ⇔ [ limx → a f(x) − l = 0]Shembulli 2 Të vërtetohet që limx → 1 (x2 – 2x + 3) = 2. Zgjidhje Mjafton të vërtetojmë që diferenca e funksionit f me numrin 2 është p.m.v., kur x → 1. Kjo diferencë është funksioni y = (x2 – 2x + 3) – 2, d.m.th. y = x2 – 2x + 1, pra y = (x – 1)2, i cili me të vërtetë është p.m.v., kur x → 1. Rrjedhim 1 limx → a c = c (c konstante) Me të vërtetë, diferenca e funksionit y = c me numrin c është numri zero, i cili është p.m.v. kur x → a. Rrjedhim 2 limx → a x = a.Me të vërtetë, diferenca e funksionit y = x me numrin a është funksioni y = x – a, i cili është p.m.v. kur x → a.C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Skiconi grafikun e funksionit y = x2. Gjeni nga grafiku limitin e këtij funksioni, kur x → 0, x → 1, x → 2. 2. Gjeni bashkësinë e përcaktimit, ndërtoni grafikun e funksionit y = x2 − 4x − 2 dhe gjeni nga grafiku limitin e këtij funksioni kur:a) x → 1; b) x → 2.