Page 131 - Demo

5. FUNKSIONI NUMERIK1295.3 Teoremat themelore për limitin e funksionitA Kërkoni dhe zbuloniDihet që limx → 1 x = 1; limx → 1 2 = 2. Gjeni:a) limx → 1 (x + 2);b) limx → 12x; c) limx → 1x2.B Vrojtoni dhe mësoniPër gjetjen e limiteve të funksioneve të dhëna me formula y = f(x), në rastet kur f(x) është shumë, prodhim apo herës shprehjesh më të thjeshta, përdoren shpesh teoremat e mëposhtme. Ato do t’i formulojmë e vërtetojmë në rastin kur x → a, por ato janë të vërteta edhe kur x → +∞ (x → −∞). Teorema 6 (Limiti i shumës)Nëse funksionet f1, f2 kanë limit kur x → a, atëherë edhe shuma e tyre ka limit kur x → a dhe limx → a [f1(x) + f2(x)] = limx → a f1(x) + limx → a f2(x). Vërtetim E zëmë se limx → a f1(x) = l1 dhe limx → a f2(x) = l2. Sipas teoremës 4, mund të shkruajmë: f1 (x) − l1 = α1 (x) dhe f2 (x) − l2 = α2 (x), ku α1, α2 janë p.m.v. kur x → a, d.m.th. limx → a α1 (x) = limx → a α2 (x) = 0. Duke mbledhur anë për anë, kemi: [f1 (x) + f2 (x)] – (l1 + l2) = α1 (x) + α2 (x) (1)Por shuma e funksioneve p.m.v. kur x → a, është p.m.v. kur x → a. Pra limx → a [α1 (x) + α2 (x)] = 0. Barazimi (1) na tregon që diferenca e funksionit (f1 + f2) me numrin (l1 + l2) është p.m.v., kur x → a. Kjo do të thotë, në bazë të teoremës 4, që limiti i funksionit (f1 + f2), kur x → a, është (l1 + l2). Pra, limx → a [f1 (x) + f2 (x)] = (l1 + l2) = limx → a f1(x) + limx → a f2(x), çfarë deshëm të vërtetonim.Shembulli 1 a) limx → 2 (x + 5) = limx → 2 x + limx → 2 5 = 2 + 5 = 7.b) limx → 4 (x – 2) = limx → 4 x + limx → 4 (– 2) = 4 + (– 2) = 2. Vërejtje Teorema është e vërtetë edhe në rast se numri i funksioneve që mblidhen është më i madh se 2. Pra, shuma e një numri të fundmë funksionesh që kanë limit kur x → a, ka limit kur x → a, dhe ky limit është sa shuma e limiteve të funksioneve që mblidhen.