Page 132 - Demo

130MATEMATIKA 12Shembulli 2 limx → 0 (x2 – x + 5) = limx → 0 x2 – limx → 0 x + limx → 0 5 = 0 – 0 + 5 = 5. Teoremë 7 (Limiti i prodhimit) Nëse funksionet f1, f2 kanë limit kur x → a, atëherë edhe prodhimi i tyre f1 · f2 ka limit kur x → a dhe limx → a [f1(x) · f2(x)] = [ limx → a f1(x)] · [ limx → af2(x)] VërtetimE zëmë se limx → a f1(x) = l1 dhe limx → a f2(x) = l2.Në bazë të teoremës 4, ekzistojnë dy p.m.v. α1, α2 kur x → a, në mënyrë që f1 (x) − l1 = α1 (x) dhe f2 (x) − l2 = α2 (x), d.m.th. f1(x) = l1 + α1 (x) dhe f2(x) = l2 + α2 (x). Duke shumëzuar anë për anë këto dy barazime, marrim: f1 (x) · f2 (x) = l1 l2 + l1α2 (x) + l2α1 (x) + α1 (x) · α2 (x), që nga f1 (x) · f2 (x) – l1 l2 = l1α2 (x) + l2α1 (x) + α1 (x) · α2 (x) (2) l1 · α2 dhe l2 · α1 janë p.m.v kur x → a (teorema 3) dhe gjithashtu α1 · α2 është p.m.v. kur x → a (teorema 2). Atëherë, shuma l1 · α2 + l2 · α1 + α1 · α2 është p.m.v kur x → a (teorema 1), d.m.th. limx → a [l1α2 (x) + l2α1 (x) + α1 (x) · α2 (x)] = 0. Barazimi (2) tregon që diferenca e funksionit f1 · f2 me numrin l1· l2 është p.m.v. kur x → a, prandaj limiti i funksionit f1 · f2 kur x → a, është numri l1· l2 (teorema 4). Kështu, limx → a [f1(x) · f2(x)] = l1 · l2 = [ limx → a f1(x)] · [ limx → a f2(x)], çfarë deshëm të vërtetonim. Shembulli 3 limx → 2 [(x + 5)x] = limx → 2 (x + 5) · limx → 2 x = 7 · 2 = 14 Mund të tregohet se prodhimi i një numri të fundmë funksionesh, që kanë limit kur x → a, ka limit kur x → a dhe ky është i barabartë me prodhimin e limiteve të funksioneve që shumëzohen. Rrjedhim 1Faktori konstant mund të nxirret jashtë shenjës së limitit. Pra, nëse funksioni f ka limit kur x → a dhe c është konstante, atëherë edhe funksioni c · f ka limit kur x → a dhe limx → a [c · f(x)] = c · limx → a f(x). Vërtetim Sipas teoremës 7, duke pasur parasysh se limx → a c = c, kemi: limx → a [c · f(x)] = limx → a c · limx → a f(x) = c · limx → a f(x). Shembulli 4 limx → 2x + 53 = limx → 213 (x + 5) = 13 limx → 2 (x + 5) = 13· 7 = 73 . Rrjedhim 2 (Limiti i fuqisë) Nëse funksioni f ka limit kur x → a, atëherë edhe funksioni f n (ku n është numër natyror) ka limit kur x → a dhe limx → a [f(x)]n = [ limx → a f(x)]n.