Page 134 - Demo

132MATEMATIKA 12A Kërkoni dhe zbuloni a) Gjeni limx → 3 2x2; limx → 3 5x; limx → 3 ( –7). b) Duke përdorur teoremën 6, gjeni limx → 3 (2x2 + 5x – 7). c) Njehsoni vlerën e polinomit P(x) = 2x2 + 5x – 7 në pikën x = 3. Ç’vini re? B Vrojtoni dhe mësoniLimiti i funksionit polinom Le të na jetë dhënë funksioni y = 4x3 – 3x + 5. Shprehja 4x3 – 3x + 5 është një polinom. Të gjejmë limx → 2 (4x3 – 3x + 5). Kemi limx → 2 (4x3 – 3x + 5) = limx → 2 (4x3) – limx → 2 (3x) + limx → 2 5 (nga teorema 6) = 4 limx → 2 x3 – 3 limx → 2 x + limx → 2 5 (nga rrjedhimi 1 i teoremës 7) = 4( limx → 2 x)3 – 3 limx → 2 x + limx → 2 5 (nga rrjedhimi 2 i teoremës 6) = 4 · 23 – 3 · 2 + 5 (pse?). Shohim që limiti i këtij funksioni kur x → 2 është i barabartë me vlerën e polinomit në pikën x = 2. Ky rezultat ka vlerë të përgjithshme. Nëse P(x) është një polinom me ndryshore x, limiti i funksionit y = P(x), kur x → a, është i barabartë me vlerën P(a) të polinomit për x = a. Shembulli 1 1) limx → 1 (5x4 – 3x2 + 6x – 2) = 5 · 14 – 3 · 12 + 6 · 1 – 2 = 6. 2) Për të gjetur limx → 2 (2x3 – 4x + 7)2, gjejmë në fillim limx → 2 (2x3 – 4x + 7), që është 2 · 23 – 4 · 2 + 7 = 15. Atëherë, në bazë të rrjedhimit 2 të teoremës 7, kemi: limx → 2 (2x3 – 4x + 7)2 = 152 = 225. Teorema 8Nëse funksionet f1, f2 kanë limite, kur x → a dhe limx → a f2 (x) ≠ 0 , atëherë edhe funksioni f1f2 ka limit, kur x → a, dhe ky është i barabartë me raportin e limiteve të f1 dhe të f2. Pra, limx → af1 (x)f2 (x)= limx → a f1 (x)limx → a f2 (x). Teoremën do ta pranojmë pa vërtetim. Shembulli 2 Kemi limx → 5 (2x – 3) = 2 · 5 – 3 = 7; limx → 5 (3x – 1) = 3 · 5 – 1 = 14 ≠ 0. Prandaj, sipas teoremës 6, ekziston limx → 52x − 33x − 1 , dhe është 714 , d.m.th. 12. 5.4 Teoremat themelore mbi limitin (vazhdim)