Page 135 - Demo

5. FUNKSIONI NUMERIK133Limiti i funksionit racional thyesor Ushtrim 1) Gjeni limx → 2 (x2 – 4x + 1) dhe limx → 2 (2x – 3). 2) Gjeni limx → 2x2 − 4x + 12x − 3 . 3) Njehsoni vlerën e funksionit y = x2 − 4x + 12x − 3 në pikën x = 2. Ç’vini re? Ka vend ky përfundim i përgjithshëm: Nëse P(x), Q(x) janë polinome dhe Q(a) ≠ 0, limiti i funksionit racional thyesor y = P(a)Q(a), kur x → a, është i barabartë me P(a)Q(a), d.m.th. është i barabartë me vlerën e këtij funksioni në pikën x = a. Shembulli 3 Të gjejmë limitin e funksionit y = x2 − 4x + 32x2 − x + 1, kur x → 5. Vlera e emëruesit (2x2 – x + 1) për x = 5 është 2 · 52 − 5 + 1 = 46 ≠ 0, kurse vlera e numëruesit (x2 – 4x + 3) për x = 5 është 52 – 4 · 5 + 3 = 8. Prandaj limx → 5x2 − 4x + 32x2 − x + 1 = 846 = 423 . Teorema 9Nëse funksioni y = f(x) n është i përcaktuar në ndonjë interval ]a – r, a + r] (me përjashtim ndofta të pikës x = a) dhe ekziston limx → a f(x), atëherë ekziston edhe limx → a f(x) n dhe është i barabartë me limx → a f(x) n. (Pa vërtetim.) Shembulli 4 Të gjendet limx → 3x2 − x + 1. Zgjidhje Kemi limx → 3 (x2 – x + 1) = 32 – 3 + 1 = 7 > 0. Prandaj limx → 3x2 − x + 1 = 7 . Vërejtje 1 Do ta pranojmë pa vërtetim që për çdo a ÎR, kemi: 1) limx → a sinx = sina; 2) limx → a cosx = cosa;3) limx → a ex = ea; 4) limx → a lnx = lna ( a > 0). Funksion i zakonshëm do të quhet çdo funksion i dhënë me një formulë të trajtës y = f(x), ku f(x) mund të jetë: • polinom me x; • shprehje thyesore racionale me x; • |x|; • xα (α është numër real);• ax (0 < a ≠ 1); • logax (0 < a ≠ 1); • sinx ose cosx; • shumë, prodhim ose përbërje e shprehjeve të mësipërme.