Page 138 - Demo

136MATEMATIKA 12Vërejtje 1. Nëse f(x) > 0 në ndonjë interval që përmban pikën x = a (me përjashtim ndoshta të x = a) dhe limx → a1f(x)= 0, atëherë funksioni fquhet p.m.m. me shenjë (+) kur x → a dhe shënohet limx → a f(x) = +∞. I tillë është funksioni y = 1x2 , i paraqitur grafikisht në figurën 5.8, për të cilin mund të shkruajmë limx → 01x2 = +∞. 2. Nëse f(x) < 0 në ndonjë interval që përmban pikën a (me përjashtim ndoshta të x = a) dhe limx → a1f(x) = 0, atëherë funksioni f quhet p.m.m. me shenjë (–) kur x → a dhe shënohet limx → a f(x) = –∞. I tillë është funksioni y = – 1x2 , i paraqitur grafikisht në figurën 5.9, për të cilin mund të shkruajmë limx → 0 – 1x2 = –∞. Vetitë e funksioneve p.m.m. 1. Prodhimi i dy funksioneve p.m.m. kur x → a është p.m.m. kur x → a. VërtetimLe të jenë f, g dy funksione p.m.m. kur x → a.Të vërtetojmë që edhe funksioni f · g është p.m.m. kur x → a. Mjafton të vërtetojmë që limx → a1f(x) · g (x) = 0. Por limx → a1f(x) = 0 (sepse f është p.m.m. kur x → a) dhe limx → a1g(x) = 0 (pse?). Prandaj limx → a1f(x) · g(x) = limx → a1f(x) · 1g(x) = limx → a1f(x) · limx → a1g (x) = 0 · 0 = 0. Vërejtje Mund të vërtetohet më tej se: a) Prodhimi i dy funksioneve p.m.m. me të njëjtën shenjë kur x → a është p.m.m. me shenjë (+) kur x → a. b) Prodhimi i dy funksioneve p.m.m. me shenja të kundërta kur x → a është p.m.m. me shenjë (–) kur x → a. 2. Shuma e disa funksioneve p.m.m. me të njëjtën shenjë kur x → a është funksion p.m.m. me po atë shenjë kur x → a. 3. Shuma e një funksioni që ka limit kur x → a me një funksion p.m.m. kur x → a, është përsëri funksion p.m.m. kur x → a. 4. Prodhimi i një funksioni që ka limit të ndryshëm nga zero kur x → a, me një funksion p.m.m. kur x → a është përsëri funksion p.m.m. kur x → a. Vetitë 2 – 4 do t’i pranojmë pa vërtetim. 0 1 x-1-1 2y =– 1x2Fig. 5.9