Page 142 - Demo

140MATEMATIKA 12A Kërkoni dhe zbuloniGjeni: a) limx → 2xx + 2; b) limx → 2xx – 2; c) limx → 2x2 – 4x – 2 . B Vrojtoni dhe mësoniForma e pacaktuar 00Tek ushtrimi i hyrjes, në rastin (a), mund të përdorim teoremën mbi limitin e raportit, meqenëse numëruesi dhe emëruesi kanë limit, dhe limiti i emëruesit është i ndryshëm nga zero. Në rastin (b), limiti i emëruesit është zero, por limiti i numëruesit është i ndryshëm nga zero. Në këtë rast, mund ta shkruajmë raportin xx – 2 në trajtën x · 1x – 2 dhe të përdorim faktin që prodhimi i një funksioni me limit të ndryshëm nga zero me një p.m.m. kur x → 2 është përsëri p.m.m. kur x → 2. Në rastin (c) nuk mund të përdorim direkt asnjë nga teoremat e njohura, sepse edhe limiti i numëruesit, edhe limiti i emëruesit janë zero. Në këtë rast themi që “kemi të bëjmë me formë të pacaktuar 00”. Ne mund të gjejmë limitin e funksionit y = x2 – 4x – 2 kur x → 2, duke thjeshtuar shprehjen x2 – 4x – 2me (x – 2). (Kjo lejohet, sepse kur gjejmë limitin kur x → 2, ne nuk interesohemi për vlerën e funksionit në pikën x = 2, por për vlerat e x mjaft afër 2, por të ndryshme nga 2.) Kemi x2 – 4x – 2 = (x – 2)(x + 2)x – 2 = x + 2. Prandaj, limx → 2x2 – 4x – 2 = limx → 2(x + 2) = 2 + 2 = 4. Në përgjithësi, nëse limx → a f(x) = 0 dhe limx → a g(x) = 0, themi që shprehja f(x)g(x) paraqet formë të pacaktuar 00 kur x → a. Kjo nuk do të thotë që limx → af(x)g(x) është i barabartë me 00 (siç thuhet shpesh gabim), sepse simboli 00 nuk ka kuptim. Kjo është thjesht një mënyrë të shprehuri për të vënë në dukje se për gjetjen e limx → af(x)g(x), nëkëtë rast, nuk mund të përdorim teoremat e njohura, por duhen kërkuar mënyra të posaçme, disa nga të cilat do t’i shohim më poshtë. Mënyra e thjeshtimit me ( ) Përdoret nëse f dhe g janë polinome që bëhen zero për x = a, d.m.th. që e kanë rrënjë numrin a. Shembulli 1 Të gjendet limx → 22x2 – 5x + 2x2 – 7x + 10 . Zgjidhje Kemi limx → 2 (x2 – 7x + 10) = 22 – 7 · 2 + 10 = 0. limx → 2 (2x2 – 5x + 2) = 2 · 22 – 5 · 2 + 2 = 0. Kështu, kemi të bëjmë me formë të pacaktuar 00. 5.7 Format e pacaktuara