Page 145 - Demo

5. FUNKSIONI NUMERIK1435.8 Disa limite të rëndësishmeA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. Gjeni:a) limx → 0 sin x; lim x → –π sinx; limx → π sinx;b) limx → 0 tgx; lim x → –πtgx; limx → π tgx.2. Plotësoni tabelën. Çfarë vini re?x –0,01 –0,001 –0,0001 –0,00001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1sinxsinxxB Vrojtoni dhe mësoniLimite funksionesh trigonometrike Kemi limx → 0 sin x = sin0 = 0. Prandaj, kur kërkojmë limx → 0sin xx , kemi të bëjmë me formë të pacaktuar 00. Vërtetohet se kur x matet në radian, limx → 0sin xx = 1. Kjo do të thotë që për x mjaft afër zeros, kemi sin xx mjaft afër numrit 1, d.m.th. sin x ≈ x. Shembulli 1Do të vërtetojmë që limx → 0sinkxkx = k (k ≠ 0).ZgjidhjeShkruajmë: sinkxx = k sinkxx . Prandaj: limx → 0sinkxx = k limx → 0sinkxkx . Zëvendësojmë kx = t. Është e qartë që kur x → 0, edhe t → 0 (dhe anasjellas). Prandaj, limx → 0sinkxkx = limt → 0sintt = 1. Kështu, limx → 0sin kxx = k · 1 = k. Në veçanti, limx → 0sin( x2)x = limx → 0sin(12 x)x = 12. Shembulli 2Do të vërtetojmë që limx → 01 – cos xx2 = 12. ZgjidhjeShumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me shprehjen (1 + cosx), 1 – cos xx2 = (1 – cos x)(1 + cos x)x2 (1 + cos x) = (1 – cos2 x)x2 (1 + cos x) = sin2 xx2 (1 + cos x). Pra, 1 – cos xx2 = 11 + cos x · sinxx · sinxx (1).Kemi limx → 011 + cos x = 11 + cos0 = 12; limx → 0sin xx = 1. Nga barazimi (1), në bazë të teoremës mbi limitin e prodhimit, shkruajmë: limx → 01 – cos xx2 = 12 · 1 ·1 = 12.