Page 146 - Demo

144MATEMATIKA 12Ushtrim a) Duke shkruar tgx = sinxcos x, vërtetoni që limx → 0tg xx = 1.b) Vërtetoni që limx → 01 – cos xx2 = 12, duke e shkruar 1 – cosx = 2 sin x22. VërejtjeNëse limx → a f(x) = 0 dhe limx → a g(x) = ∞, për gjetjen e limitit limx → a f(x) · g(x), themi që kemi të bëjmë me “formën e pacaktuar 0 · ∞”, duke nënkuptuar me këto fjalë se nuk mund të përdoren teorema të njohura për njehsimin e limitit. Shpesh, me shndërrime të thjeshta, ne arrijmë nga forma e pacaktuar 0 · ∞, në formën e pacaktuar 00. Shembulli 3Të gjendet limx → 0x · cotgx.ZgjidhjeKemi limx → 0x = 0. Veç kësaj, limx → 0sinx = 0 dhe limx → 0cosx = 1, prandaj:limx → 0 cotgx = limx → 0cos xsin x = limx → 0 (cosx · 1sinx) = ∞ (pse?).Kështu, te gjetja e limitit të x · cotgx, kur x → 0, kemi të bëjmë me formën e pacaktuar 0 · ∞. Shkruajmë x · cotgx = x cos xsinx = cos xsinxx (2). Por limx → 0 cosx = 1 dhe limx → 0sinxx = 1. Nga barazimi (2), në bazë të teoremës mbi limitin e raportit, del që:limx → 0 x · cotgx = limx → 0cos xlimx → 0sinxx = 11 = 1. Shembulli 4 Të gjendet lim x → +∞ x · sin 1x .Zgjidhje Zëvendësojmë 1x = t. Del x = 1t. Është e qartë që kur x → +∞, t → 0 dhe anasjellas. Kemi: lim x → +∞ x · sin 1x = limt → 01t · sint = limt→ 0sin tt = 1. Limiti lim x → +∞ (1 + 1x )x.Dimë se lim n → +∞ (1 + 1n)n = e. Vërtetohet që edhe lim x → +∞ (1 + 1x )x = e.Shembulli 5Të gjendet limt → 0+ (1 + t)1t.ZgjidhjeZëvendësojmë t = 1x. Vëmë re se kur t → 0+, x → +∞ dhe anasjellas. Prandaj kemi limt→ 0+ (1 + t)1t = lim x → +∞(1 + 1x )x = e.