Page 148 - Demo

146MATEMATIKA 125.9 Format e pacaktuara (vazhdim)A Kërkoni dhe zbuloniGjeni lim x → +∞8x3 – 2x2 + 5x – 14x3 – x + 6 .B Vrojtoni dhe mësoniForma e pacaktuar ∞∞Nëse limx → a f(x) = ∞ dhe limx → a g (x) = ∞, kur kërkojmë limitin e funksionit fg kur x → a, themi se kemi të bëjmë “me formën e pacaktuar ∞∞”. Kemi shqyrtuar raste të tilla, p.sh. kur kemi gjetur limitin e raportit të dy polinomeve, kur x → +∞ (x → –∞) që, siç dihet, gjendet si limit i raportit të kufizave me fuqi më të lartë të tyre. Shembulli 1 Kemi lim x → +∞4x3 – x2 + 3x – 54x3 – 3x + 5 = lim x → +∞2x34x3 = lim x → +∞24 = 12 . Shembulli 2 Të gjendet lim x → +∞4x – 1x2 + 4x – 1 + x.ZgjidhjeKemi lim x → +∞ (4x – 1) = + ∞. Veç kësaj, lim x → +∞ (x2 + 4x – 1) = + ∞. Prandaj, edhe lim x → +∞ x2 + 4x – 1 = + ∞ dhe lim x → +∞ ( x2 + 4x – 1 + x) = + ∞(kemi shumën e dy p.m.m. me shenjë +). Kemi të bëjmë, pra, me formën e pacaktuar ∞∞. Pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me fuqinë më të lartë të x që vërehet në ta, d.m.th. me x. Kemi:4x – 1x2 + 4x – 1 + x= 4x – 1xx2 + 4x – 1x + xx = 4x – 1xx2 + 4x – 1x2 + 1 = 4 – 1x1 + 4x – 1x2 + 1.(Kemi shkruar x2 = |x| = x, sepse x → +∞, pra x > 0.) Tani, lim x → +∞ 4 – 1x = 4; lim x → +∞ 1 + 4x – 1x2 = 1; lim x → +∞ 1 + 4x – 1x2 = 1 = 1; lim x → +∞ 1 + 4x – 1x2 + 1 = 1 + 1 = 2. Duke përdorur teoremën mbi limitin e raportit, shkruajmë: lim x → +∞4 – 1x1 + 4x – 1x2 + 1 = 42 . Prandaj, lim x → +∞4x – 1x2 + 4x – 1 + x = 2.