Page 154 - Demo

152MATEMATIKA 126.1 Limitet e njëanshme A Kërkoni dhe zbuloniA ka limit funksioni y = {x për x ≥ 12x për x < 1 kur x → 1?B Vrojtoni dhe mësoniShembulli 1 Shqyrtojmë funksionin f: y = {1 –x për x < 02 për x = 0x2 për x > 0, grafiku i të cilit është paraqitur në figurën 6.1. Grafikisht kuptojmë se ky funksion nuk ka limit kur x → 0 (pse?). Por vëmë re se, kur vlerat e x i afrohen pambarimisht zeros, duke qenë x < 0, vlerat e funksionit i afrohen pambarimisht numrit 1. Themi që numri 1 është limit i majtë i funksionit f, kur x → 0. Ndryshe thuhet: 1 është limit i f, kur x → 0 nga e majta. Kur vlerat e x i afrohen pambarimisht numrit zero, duke qenë x > 0, vlerat e funksionit i afrohen pambarimisht numrit 0. Themi që numri 0 është limit i djathtë i funksionit, kur x → 0. Ndryshe thuhet: 0 është limit i f, kur x → 0 nga e djathta. Le të kemi një funksion f, të përcaktuar në ]a, b[. Përkufizim 1 Numri l quhet limit i djathtë i funksionit f, kur x → a, nëse diferenca |f(x) – l| bëhet sa të duam ne e vogël, me kusht që të shqyrtohen vlera të x > a mjaft afër a. Më saktë, numri l quhet limit i djathtë i funksionit f, kur x → a, nëse sido qoftë një numër pozitiv ε, gjejmë një numër pozitiv r, të tillë që për x∈ ]a – r, a[, të kemi |f(x) – l| < ε. Shënohet lim x → a+ f(x)= l. Le të kemi një funksion f, të përcaktuar në ]c, a[. Përkufizim 2 Numri l quhet limit i majtë i funksionit f, kur x → a, nëse diferenca |f(x) – l| bëhet sa të duam ne e vogël, nëse zgjidhen vlera të x < a mjaft afër a.Më saktë, numri l quhet limit i majtë i funksionit f, kur x → a, nëse sido qoftë numri ε > 0, gjejmë një numër pozitiv r, të tillë që për x∈ ]a, a + r[ të kemi |f(x) – l| < ε. Shënojmë lim x → a– f(x) =l.Limiti i djathtë dhe limiti i majtë, kur x → a, quhen me një emër limite të njëanshme, kur x → a. 0y-1 1 2 x21Fig. 6.1