Page 155 - Demo

6. VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT153Shembulli 2Për funksionin f: y = {sin x për x ≥ πcos x për x < π kemi lim x → π+ f(x) = lim x → π+ sin x = sinπ = 0; lim x → π– f(x) = lim x → π– cosx = cosπ = –1.Limiti kur x → a dhe limitet e njëanshme kur x → aFunksioni i shqyrtuar në shembullin 1 ka limite të njëanshme të ndryshme, kur x → 0 dhe nuk ka limit, kur x → 0. Shembulli 3Shqyrtojmë funksionin f: y = {x2 për x ≠ 01 për x = 0, grafiku i të cilit është dhënë në figurën 6.2. Ky funksion ka limit kur x → 0; limx → 0 f(x) = 0. Duket qartë që ky funksion ka edhe limite të njëanshme kur x → 0, dhe këto janë gjithashtu 0. Pra:lim x → 0+ f(x) = lim x → 0+ x2 = 0 dhe lim x → 0– f(x) = lim x → 0– x2 = 0. Shqyrtimi i shembujve 1 dhe 3, na çon në këtë përfundim të përgjithshëm: Funksioni f ka limit l kur x → a, atëherë dhe vetëm atëherë kur limitet e njëanshme të këtij funksioni, kur x→ a, ekzistojnë dhe janë të dyja të barabarta me l. Shembulli 4Të gjendet asimptota vertikale e grafikut të funksionit f: y = 1x – 2 . ZgjidhjeEmëruesi i këtij funksioni racional thyesor bëhet 0 kur x = 2. Shohim limitet e njëanshme të funksionit kur x → 2.Kur x → 2+, kemi x > 2, pra (x – 2) > 0 dhe (x – 2) → 0+. Prandaj, lim x → 2+1x – 2 = +∞ (inversi i një p.m.v. është p.m.m.).Kur x→ 2–, kemi x < 2, pra (x – 2) < 0 dhe (x – 2) → 0–. Prandaj lim x → 2–1x – 2 = –∞. Drejtëza x = 2 është asimptotë vertikale e grafikut të funksionit. Në figurën 6.3 është paraqitur grafiku i këtij funksioni (që merret nga grafiku i funksionit y = 1x me zhvendosje dy njësi djathtas). Fig. 6.20y-1 1 2 x210y-2 2 4 x-4-4-242Fig. 6.3