Page 158 - Demo

156MATEMATIKA 12Shembulli 1Funksioni f: y = x2 + 1 është i vazhdueshëm në pikën x = 0, sepse:1. funksioni f është i përcaktuar në këtë pikë; f(0) = 02 + 1 = 1;2. ekziston limx → 0 f(x) = limx → 0 (x2 + 1) = 02 + 1 = 1;3. limx → 0 f(x) = f(0).Skiconi grafikun e këtij funksioni dhe vëreni që ai nuk ka këputje në pikën x = 0.Shembulli 2Funksioni g: y = xx – 3 nuk është i vazhdueshëm në pikën x = 3, sepse nuk është i përcaktuar në këtë pikë.Shembulli 3Shqyrtojmë nëse është i vazhdueshëm funksioni: h: y = {x2 për x ≤ 02x + 1 për x > 0 në pikën x = 0.1. Funksioni është i përcaktuar për x = 0 dhe f(0) = 02 = 0.2. Funksioni nuk ka limit, kur x → 0, sepse limitet e njëanshme në pikën x = 0 nuk janë të barabarta.lim x → 0+ h (x) = lim x → 0+ (2x + 1) = 2 · 0 + 1 = 1lim x → 0– h (x) = lim x → 0– (x2) = 02 = 0Si rrjedhojë, pika x = 0 është pikë këputje e këtij funksioni (fig. 6.5).Fig 6.5y1 2 x23-3 -2 -1 0 31Shembulli 4Gjeni parametrin a, që funksioni y = { x3 + 1x + 1 për x ≠ –1a për x = –1, të jetë i vazhdueshëm në pikën x = –1.Sipas përkufizimit kemi: [f i vazhdueshëm në pikën –1] ⇔ [ekziston lim x → –1 f(x) = f(–1) ]Gjejmë limitin e funksionit: Meqenëse lim x → –1 (x3 + 1) = 0 dhe lim x → –1 (x + 1) = 0, kemi të bëjmë me formën e pacaktuar 00 .Atëherë: x3 + 1x + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)x + 1 = (x2 – x + 1). Kështu që: lim x → –1+ f(x) = lim x → –1+ (x2 – x + 1) = 3 dhe lim x → –1– f(x) = lim x → –1– (x2 – x + 1) = 3 . Nga del që lim x → –1 f(x) = 3. Por f(–1) = a ⇒ a = 3 . Pra, për a = 3, funksioni i dhënë është i vazhdueshëm në pikën x = –1.