Page 160 - Demo

158MATEMATIKA 126.3 Veprime me funksionet e vazhdueshmeA Kërkoni dhe zbuloniDihet që funksionet y = x2 + 1 dhe y = sinx janë të vazhdueshme në pikën x = 0. Ç’mund të thoni për vazhdueshmërinë në këtë pikë të funksioneve:a) y = (x2 + 1) + sinx; d) y = (x2 + 1) · sinx;c) y = sinxx2 + 1 ; d) y = x2 + 1sinx .Argumentoni përgjigjen.B Vrojtoni dhe mësoniTeorema 1Në qoftë se funksionet f, g janë të vazhdueshme në pikën a, atëherë edhe funksioni s = f + g është i vazhdueshëm në pikën a.VërtetimNga kushti kemi që funksionet f, g janë të përcaktuara në pikën a dhe limx → a f(x) = f(a); limx → a g(x) = g (a).Atëherë, edhe funksioni s = f + g është i përcaktuar në pikën x = a dhe, në bazë të teoremës mbi limitin e shumës, kemi:limx → a s(x) = limx → a [f(x) + g(x)] = limx → a f(x) + limx → a g(x) = f(a) + g(a); d.m.th.limx → a s(x) = s(a). Kjo do të thotë, në bazë të përkufizimit (1), që funksioni s është i vazhdueshëmnë pikën x = a.Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetohen teoremat e mëposhtme:Teorema 2Nëse funksionet f, g janë të vazhdueshme në pikën a, atëherë edhe funksioni p = f · g është i vazhdueshëm në pikën a.Teorema 3Nëse funksionet f, g janë të vazhdueshme në pikën a dhe g(a) ≠ 0, atëherë edhe funksioni h = fg është i vazhdueshëm në pikën a.Teorema 4Në qoftë se funksioni g: u = g(x) është i vazhdueshëm në pikën a dhe funksioni f: y = f(u) është i vazhdueshëm në pikën u1 = g(a), atëherë edhe funksioni i përbërë fog është i vazhdueshëm në pikën a.