Page 161 - Demo

6. VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT159USHTRIMEShembulli 1Funksioni y = sinx mund të shkruhet si përbërje e dy funksioneve: g: u = sinx dhe f: y = u. Meqenëse funksioni u = sinx është i vazhdueshëm në çdo pikë x ∈ R dhe funksioni y = u është i vazhdueshëm në çdo pikë u ≥ 0, del që funksioni i përbërë y = sinx është i vazhdueshëm në çdo pikë x, ku sinx ≥ 0.Duke shfrytëzuar këtë fakt, mund të shkruajmë p.sh. limx → π6sinx = sin π6 = 12 .VërejtjeNë qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në pikën a, kemi limx → a f(x) = f(a). Por është e qartë që limx → a x = a. Prandaj, barazimi i mësipërm shkruhet: limx → a f(x) = f [ limx → a x] Kjo do të thotë që, për funksionin e vazhdueshëm, mund të futim shenjën e limitit brenda shenjës së funksionit.C Ushtrohuni duke zbatuarGjeni limitet:a) limx → 0 x2 + 1; b) limx → π 2sin x; c) lim x → π2 sin ( x).1 Tregoni që funksionet e mëposhtme janë të vazhdueshme në pikën x = 1:a) y = x2 + x; b) y = (x2 – 1) · x; c) y = xx2 + 4 .2 Tregoni që funksionet e mëposhtme janë të vazhdueshme në pikat e treguara:a) y = sin(2x – 4); a = 2; b) y = 2 · sin( x); a = 0; c) y = sinx + 1; a = 0.3 Gjeni limitet e mëposhtme:a) limx → 5 x + 4 ; b) limx → 3 sin(x2 – 9) ; c) limx → 2 sin(x2 – 3x + 2).4 Janë dhënë funksionet f, g të vazhdueshme në pikën a. Tregoni që në këtë pikë janë të vazhdueshme edhe funksionet:a) c · f (ku c = konstante); b) f – g.5 Funksioni f është i vazhdueshëm në pikën a, kurse funksioni g nuk është i vazhdueshëm në këtë pikë. Ç’mund të thoni për vazhdueshmërinë në pikën a të funksionit:a) f + g; b) f · g. 6 Gjeni vlerat e parametrave a, b, që funksioni i mëposhtëm të jetë i vazhdueshëm në R:a) {x2 për x ≤ 0ax + b për 0 < x < 1x3 për x ≥ 1; b) y = {ex për x ≥ 0x + ax + b për –2 < x < 0x + 1 për x ≤ –2.7 Funksionet f, g janë të vazhdueshme në pikën c dhe g(c) > 0. Tregoni që janë të vazhdueshme në pikën c edhe funksionet:a) y = 3 · f(x) – 2 g (x); b) y = sin [f(x)] + f(x) · g(x) 3.