Page 165 - Demo

6. VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT163USHTRIMETeorema 1Në qoftë se funksioni f: y = f(x) është i vazhdueshëm në segmentin [a, b] dhe në skajet e këtij segmenti merr vlera me shenja të kundërta, atëherë ekziston të paktën një pikë c e intervalit ]a, b[, në të cilën funksioni ka vlerën zero.Kjo pikë c mund të mos jetë e vetme (fig. 6.7).ShembullTë tregohet që ekuacioni 2x = 4 – x ka të paktën një rrënjë në intervalin ]1, 2[.ZgjidhjeShqyrtojmë funksionin f: y = 2x – (4 – x) në segmentin [1, 2]. Ky funksion është i vazhdueshëm në këtë segment (pse?) dhe merr në skajet e segmentit vlera me shenja të kundërta.f(1) = 21 – (4 – 1) = –1 < 0; f(2) = 22 – (4 – 2) = 2 > 0.Në bazë të teoremës 2, ekziston të paktën një pikë c e intervalit ]1, 2[ ku f(x) = 0, d.m.th. ku 2x – (4 – x) = 0. Kjo do të thotë që ekuacioni 2x – (4 – x) = 0 ka të paktën një rrënjë në ]1, 2[; të njëjtën gjë mund ta themi edhe për ekuacionin e njëvlershëm me të: 2x = 4 – x.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Vërtetoni këtë rrjedhim të teoremës 2: “Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin ]a, b[ dhe nuk merr vlerën zero në asnjë pikë të këtij intervali, atëherë f ruan të njëjtën shenjë në intervalin ]a, b[”.2. Tregoni që ekuacioni 2x3 + x2 – x – 4 = 0 ka të paktën një rrënjë në ]1, 2[.y0 x abFig. 6.71 Tregoni se ekuacioni i mëposhtëm ka të paktën një rrënjë në segmentin e dhënë:a) x3 + x – 3 = 0, x ∈[1; 2];b) 2x3 + x2 – x – 5 = 0, x∈[0; 2].2 E njëjta kërkesë për ekuacionet:a) 3x + x = 5, x∈[1, 2];b) lnx + 1 = x, x∈[ 12, e2].3 E njëjta kërkesë për ekuacionet:a) x3 + sinx = 1, x∈[0, π];b) 2sinx + 3cosx = 0, x∈[– π4, π4].4 Tregoni që ekuacioni x5 – 3x3 + x + 2 = 0 ka të paktën një rrënjë reale në [–2, 1].5 Tregoni që ekuacioni x6 – 3x5 + 2x3 – x – 1 = 0 ka të paktën një rrënjë në [1, 2].6 Është dhënë funksioni f: y = 1 + x2 – 2x.a) Tregoni që funksioni është i vazhdueshëm në R.b) Gjeni të gjitha vlerat e x për të cilat f(x) = 0.c) Studioni shenjën e funksionit.7 a) Vërtetoni që çdo funksion i vazhdueshëm në segmentin [a, b] është i kufizuar në të.b) A mbetet e vërtetë kjo fjali, nëse funksioni fështë i vazhdueshëm në një interval ]a, b[?c) A mbetet e vërtetë kjo fjali, kur funksioni fështë i përcaktuar në segmentin [a, b], por jo i vazhdueshëm në të?