Page 166 - Demo

164MATEMATIKA 121 Të studiohet shenja e funksionit f: y = 2x – 1 – x + 2.Zgjidhje a) Gjejmë në fillim bashkësinë e përcaktimit të funksionit. Ajo është bashkësia e vlerave të xqë plotëson kushtin 2x – 1 ≥ 0, d.m.th. E = [12 + ∞[.b) Funksioni f është i vazhdueshëm në bashkësinë E (pse?).c) Gjejmë bashkësinë e vlerave të x∈E, ku funksioni bëhet zero.Do të zgjidhim ekuacionin 2x – 1 – x + 2 = 0 (d.m.th. 2x – 1 = x – 2) në bashkësinë E.Duke ngritur të dyja anët në katror, marrim: 2x – 1 = x2 – 4x + 4, d.m.th. x2 – 6x + 5 = 0.Ky ekuacion ka në E dy rrënjë x1 = 1; x2 = 5.Duke bërë provën, bindemi që vetëm x2 = 5 është rrënjë e ekuacionit 2x – 1 – x + 2 = 0. Kështu, funksioni f,që është i vazhdueshëm në [12, +∞[, ka në këtë bashkësi një rrënjë të vetme x2 = 5. Si rrjedhim, funksioni f ruan shenjë në secilën nga bashkësitë [12, 5[ e ]5, + ∞[. Për ta përcaktuar konkretisht këtë shenjë, mjafton të njehsojmë vlerën e funksionit në një pikë të çfarëdoshme të secilës bashkësi.Kemi 1∈[12, 5[ dhe f(1) = 2 · 1 – 1 – 1 + 2 = 2 > 0. Kjo do të thotë se f është pozitiv në [12, 5[.Kemi 25∈]5, + ∞[ dhe f(25) = 2 · 25 – 1 – 25 + 2 = 7 – 25 + 2 = –16 < 0.Kjo do të thotë se f është negativ në ]5,+ ∞[.Përfundimisht, tabela e shenjave për funksionin f ka pamjen:x 12 5 +∞f + –2 Është dhënë funksioni y = x · |x|. Skiconi grafikun dhe studioni vazhdueshmërinë e funksionit.3 Gjeni bashkësinë e përcaktimit dhe studioni shenjën e funksionit:a) y = x – x + 2; b) y = x2 – 4 – 3x.4 a) A është i vazhdueshëm në R funksioni y = {x për x < 1– x2 + 4x për 1 ≤ x < 34 – x për x ≥ 3?b) Skiconi grafikun e tij.5 Është dhënë funksioni y = {x + 1 për x ≤ 13– a · x2 për > 1 .a) Si duhet të jetë numri a që funksioni të jetë i vazhdueshëm në R?b) Skiconi grafikun e funksionit (për vlerën e gjetur të a).6 Cili nga funksionet e mëposhtme e ka pikën x = 0 pikë këputje, por ka limit kur x shkon në zero:a) y = sin5xx ;b) y = cos xx ;c) y = 1ln|x|?7 Gjeni bashkësinë ku është i vazhdueshëm funksioni:a) y = 1 – |x| ; b) y = 34 – x2 + log(x2 – x);c) y = log[sin (x – 3)] + 16 – x2 ;d) y = sinx + 16 – x2 .8 Tregoni që funksionet e mëposhtme e kanë pikën x = 0 pikë këputje, ndonëse kanë limit kur x shkon në zero:a) y = x · sin πx ; b) y = 11 + 21x.9 Tregoni që ekuacioni x5 – 3x = 1 ka të paktën një rrënjë, të ndodhur në ]1, 2[.10 Tre cilindra, me rreze bazash përkatësisht 3m, 2m, 1m dhe me të njëjtën lartësi 5m, janë vendosur njëri mbi tjetrin. a) Shprehni syprinën e prerjes tërthore të trupit të formuar në varësi të lartësisë së tij x nga baza e poshtme: S = f(x).b) Gjeni bashkësinë X të vlerave të mundshme të x.c) A është funksioni S = f(x) i vazhdueshëm në x?d) Ndërtoni grafikun e funksionit S = f(x), x ∈X.11 Gjeni limitin:limx → 1 [ 2 – x2 + sin(lnx) + (ex – e) · tgx].06.6 Ushtrime