Page 169 - Demo

7. DERIVATI1677.1 Probleme që çojnë në kuptimin e derivatit. Përkufizimi i derivatitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Jepet funksioni y = x2.a) Gjeni vlerat e funksionit në pikat 3 dhe 3 + h.b) Sa është shpejtësia mesatare e ndryshimit të funksionit, kur kalojmë nga pika 3 në pikën 3 + h?c) Sa është limiti i kësaj shpejtësie mesatare, kur h shkon në zero?B Vrojtoni dhe mësoniShumë probleme praktike kanë të bëjnë me limite të një trajte të veçantë, siç është limh → 0f(a + h) – f(a)h . ShembullNë jetën e përditshme flitet shpesh për shpejtësi të çastit të trupit që lëviz. Kështu p.sh. dëgjohet shprehja “shpejtësia në çastin e përplasjes ishte 100 km/orë” apo “në atë çast, shpejtësimatësi i makinës tregonte 100 km/orë”. Le ta zëmë se një pikë materiale kryen lëvizje drejtvizore sipas boshtit Ox dhe zhvendosja e saj nga pika O në çastin t jepet nga formula x = t2 + 1 (figura 7.1) (x matet në metra, t matet në sekonda).Në çastin t = 2, pika materiale ndodhet në A dhe zhvendosja e saj nga O është OA = x(2) = 22 + 1 = 5 metra. Në çastin t = 2 + h, pika materiale ndodhet në B dhe zhvendosja e saj nga O është OB = x(2 + h) = (2 + h)2 + 1 = 5 + 4h + h2 (metra). Gjatë kohës nga çasti 2 në çastin (2 + h) (pra gjatë h sekondave), pika materiale është zhvendosur me madhësinë AB = OB – OA = x(2 + h) – x(2), d.m.th. me AB = 4h + h2 (metra). Shpejtësia mesatare e lëvizjes gjatë segmentit kohor [2, 2 + h] është ABh = x (2 + h) – x (2)h , d.m.th. është (4 + h) m/sek. Shihet qartë që kjo shpejtësi mesatare varet nga h; ajo ndryshon me ndryshimin e h. Asnjëra nga këto shpejtësi mesatare (që merren për vlera të ndryshme të h) nuk na jep saktësisht shpejtësinë në çastin 2 (që duhet të jetë një numër real i vetëm që s’varet nga h). Por sa më afër zeros të jetë h, aq më mirë shpejtësia mesatare e lëvizjes nga çasti 2 në çastin 2 + h do të lejojë të gjykojmë për shpejtësinë e lëvizjes së pikës materiale në çastin t = 2. Prandaj, është e natyrshme që, me përkufizim, shpejtësi të lëvizjes në çastin 2 të quajmë limitin e shpejtësisë mesatare gjatë segmentit kohor [2, 2 + h], kur h i afrohet pambarimisht zeros. Këtë shpejtësi (të lëvizjes në çastin 2) e shënojmë v(2). Kemi: v(2) = limh → 0x (2 + h) – x (2)h , d.m.th. v(2) = limh → 0 (4 + h) = 4 m/sek. Le të jetë f një funksion numerik i përcaktuar në një interval I dhe a, a + h dy numra nga ky interval. Shqyrtojmë shprehjen m(h) = f(a + h) – f(a)h . Fig. 7.10 A(2) (2 + h)B