Page 170 - Demo

168MATEMATIKA 12Për një vlerë fikse të a, vlera e shprehjes m(h) varet vetëm nga vlera e ndryshores h. Në rast se ekziston limh → 0 m(h) dhe është një numër L, atëherë ai quhet derivat i funksionit f në pikën a.Përkufizim Derivat i funksionit f në pikën a quhet limiti limh → 0f(a + h) – f(a)h , në rast se ky limit ekziston. Ai shënohet f’(a). Pra, sipas përkufizimit, f’(a) = limh → 0f(a + h) – f(a)h . P.sh. për funksionin f: x = t2 + 1 të shembullit, kemi f’(2) = 4.Kur funksioni f ka derivat në pikën a, ai quhet funksion i derivueshëm në pikën a.Meqë raporti f(a + h) – f(a)h mund të interpretohet si shpejtësi mesatare e ndryshimit të funksionit f, kur xndryshon nga a në a + h, limiti i këtij raporti kur h → 0 mund të shihet si shpejtësi e ndryshimit të funksionit f në pikën a. Derivati i funksionit y = f(x) në pikën a shënohet ndryshe y’x(a) dhe lexohet “derivati i y në lidhje me x në pikën a”. MetodëPër gjetjen e derivatit të funksionit f në pikën a, sipas përkufizimit, mjafton të ndiqet kjo radhë pune: 1. njehsojmë f(a); 2. njehsojmë f(a + h); 3. gjejmë ndryshesën f(a + h) – f(a); 4. formojmë raportin f(a + h) – f(a)h ;5. kërkojmë limitin e këtij raporti kur h → 0. Në rast se ky limit ekziston, ai është f’(a). Shembulli 1Të gjendet derivati i funksionit f: y = x3 në pikën 2. Zgjidhje 1. f(2) = 23 = 8. 2. f(2 + h) = (2 + h)3 = 23 + 3 · 22 · h + 3 · 2h2 + h3 = 8 + 12h + 6h2 + h3. 3. f(2 + h) – f(2) = 12h + 6h2 + h3. 4. f(2 + h) – f(2)h = 12 h + 6h2 + h3h = 12 + 6h + h2. 5. limh → 0f(2 + h) – f(2)h = limh → 0 (12 + 6h + h2) = 12. Pra, f’(2) = 12. C Ushtrohuni duke zbatuar Gjeni derivatin e funksionit f: y = x2 + 2 në pikën 1.