Page 172 - Demo

170MATEMATIKA 127.2 Derivatet e disa funksioneve të thjeshtaA Kërkoni dhe zbuloniGjeni derivatin e funksionit f: y = 4x – 7 në pikën: a) 1; b) a. B Vrojtoni dhe mësoniTeorema 1Derivati i funksionit linear f: y = kx + b në çdo pikë x∈R është f’(x) = k. VërtetimLe të jetë x një numër real çfarëdo. Kemi: 1. f(x) = kx + b.2. f(x + h) = k (x + h) + b = kx + kh + b.3. f(x + h) – f(x) = kh.4. f(x + h) – f(x)h = k.5. limh → 0f(x + h) – f(x)h = limk → 0 k = k. Pra, f’(x) = k. Shkurt shënojmë (kx + b)’ = k. P.sh.: (4x – 7)’ = 4. Rast i veçantë. Për funksionin f: y = x kemi, për çdo pikë x, f’(x) = 1, d.m.th. (x)’ = 1. Teorema 2Derivati i funksionit konstant f: y = b në çdo pikë x është zero. Shembulli 1Derivati i funksionit y = sin2x + cos2x në çdo pikë x është zero. (sin2x + cos2x)’ = 0, në çdo pikë x∈R. Teorema 3Derivati i funksionit të fuqisë së dytë f: y = ax2 + bx + c në çdo pikë x∈R është f’(x) = 2ax + b.Shënojmë (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b. P.sh. (–x2 + 3x – 7)’ = –2x + 3. Shembulli 2Të gjendet derivati i funksionit f: y = 3x2 – 5x + 8 në pikën x = 4. ZgjidhjeSipas teoremës 3, derivati i këtij funksioni në një pikë të çfarëdoshme x është f’(x) = 2 . 3x – 5, d.m.th. f’(x) = 6x – 5. Derivati në pikën x = 4 do të jetë atëherë f’(4) = 6 . 4 – 5 = 19.