Page 173 - Demo

7. DERIVATI171Teorema 4Derivati i funksionit f: y = x3 në çdo pikë x∈R është f’(x) = 3x2. Shënohet (x3)’ = 3x2. Vërtetimi i teoremave 2, 3 dhe 4 i lihet nxënësit me dëshirë. Teorema 5Derivati i funksionit f: y = 1x në çdo pikë x ≠ 0 është f’(x) = – 1x2. Shënohet ( 1x )’ = – 1x2 për x ≠ 0. VërtetimLe të jetë x një numër çfarëdo i ndryshëm nga zero. Kemi: 1. f(x) = 1x .2. f(x + h) = 1x + h .3. f(x + h) – f(x) = 1x + h – 1x = x – (x + h)(x + h) x = –h(x + h) x . 4. f(x + h) – f(x)h = – 1(x + h) x .5. Kemi limh → 0 [– 1(x + h) x ] = – 1x2, sepse: limh → 0 (x + h) = x; limh → 0 (x + h) · x = x · x = x2 (x ≠ 0), dhe si rrjedhim limh → 0 [– 1(x + h) x ] = – 1x2 (pse?). Kështu, f’(x) = – 1x2, për x ≠ 0, çfarë deshëm të vërtetonim. Teorema 6Në çdo pikë x > 0, derivati i funksionit f: y = x është f’(x) = 12 x .VërejtjeFunksioni f: y = x nuk ka derivat në pikën x = 0. Me të vërtetë, kemi: f(0 + h) – f(0)h = hh = 1h. Por limh → 01h = ∞ (pra, është i papërcaktuar) prandaj funksioni y = x nuk ka derivat në pikën zero.Kështu, ndonëse funksioni f: y = x ka si bashkësi përcaktimi [0, +∞[, ai ka derivat në çdo pikë të intervalit ]0, +∞[. Funksioni që ka derivat në çdo pikë të një intervali I quhet i derivueshëm në intervalin I.C Ushtrohuni duke zbatuarTregoni që kur x > 0: a) limh → 0x + h = x ;b) limh → 01x + h + x= 12 x .