Page 175 - Demo

7. DERIVATI1737.3 Derivati si shpejtësi e ndryshimit të funksionitA Kërkoni dhe zbuloniPika materiale lëviz në boshtin Ox, sipas ligjit x = t2 – 4t + 3. a) Gjeni shpejtësinë e lëvizjes së pikës në çastin t = 5. b) Në cilin çast shpejtësia e pikës është zero? B Vrojtoni dhe zbuloniNë lëvizjen drejtvizore të pikës materiale gjatë boshtit Ox, sipas ligjit x = t2 + 1 (shembulli i mësimit 7.1), pamë se shpejtësia e pikës në çastin 2 ishte v(2) = limh → 0x (x + h) – x (2)h , d.m.th. e barabartë me derivatin e funksionit x = t2 + 1 në pikën t = 2. Duke përgjithësuar, mund të themi se: Nëse pika materiale kryen lëvizje drejtvizore sipas ligjit x = x(t), atëherë shpejtësia e saj në çastin a është sa derivati i funksionit x (në lidhje me t) në pikën a. Shpejtësia mesatare e ndryshimit të funksionit f në segmentin [a, a + h], siç e pamë, është f(a + h) – f(a)h . Në problemet konkrete, ajo na lejon të matim ndryshimin mesatar të një madhësie që karakterizon një proces gjatë një segmenti kohor të caktuar [a, a + h]. Derivati f’(a), siç e pamë, mund të shihet si shpejtësi e ndryshimit të funksionit f në pikën a. Ai lejon të “fotografojmë” ecurinë e procesit në një çast të caktuar. Sa herë që dëgjojmë të flitet për “shpejtësi të çastit” në ecurinë e një procesi, zakonisht kemi të bëjmë me një derivat. Shembulli 1Temperatura e një trupi që ftohet, ndryshon sipas ligjit T = 20 – t2, ku t është koha që ka kaluar që nga fillimi i procesit të ftohjes (T matet në oC, t matet në minuta). a) Në çastin t = 3, temperatura është T(3) = 20 – 32 = 11 (oC). b) Pas h minutash, d.m.th. në çastin t = 3 + h, temperatura është T(3 + h) = 20 – (3 + h)2 = 11 – 6h – h2 (oC). c) Ndryshimi i temperaturës në segmentin kohor [3, 3 + h] është T(3 + h) – T(3) = –6h – h2 (oC). d) Shpejtësia mesatare e ndryshimit të temperaturës (shpejtësia mesatare e ftohjes së trupit) në segmentin kohor [3, 3 + h] është: T(3 + h) – T(3)h = –6 – h (oC/min). e) Shpejtësia e ftohjes në çastin t = 3 është: limh → 0T(3 + h) – T(3)h = limh → 0 (–6 – h) = –6 (oC/min).Vëmë re se shpejtësia e ftohjes në çastin t = 3 është sa derivati i funksionit T = 20 – t2 (në lidhje me t) në pikën 3. Në përgjithësi, nëse vlerat e një madhësie y lidhen me vlerat e një madhësie x me relacionin funksional y = f(x), atëherë shpejtësia e ndryshimit të madhësisë y, kur x = a, jepet nga derivati i y në lidhje me x, në pikën a.