Page 177 - Demo

7. DERIVATI1757.4 Derivatet e njëanshme. Vazhdueshmëria e funksionit që ka derivatA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)A është e mundshme që një funksion të jetë i vazhdueshëm në pikën a dhe të mos ketë derivat në këtë pikë? Shqyrtoni shembujt. a) Funksioni y = x3 në pikën x = 0.b) Funksioni y = |x| në pikën x = 0.B Vrojtoni dhe mësoniI. I rikthehemi përkufizimit të derivatit të funksionit f në pikën a, f’(a) = limh → 0f(a + h) – f(a)h Shënojmë a + h = x, d.m.th. h = x – a. Është e qartë që kushti h → 0 është i njëvlershëm me kushtin x → a, kurse raporti f(a + h) – f(a)h shkruhet f(x) – f(a)x – a. Arrijmë në përfundimin: “Funksioni f është i derivueshëm në pikën a, vetëm atëherë kur ekziston limx → af(x) – f(a)x – a. Në këtë rast, ky limit jep gjithashtu f’(a)” Në disa raste, gjetja e f’(a) si limit i kësaj trajte është më e thjeshtë. Shembulli 1Të gjendet derivati i funksionit f: y = x3 në pikën a. ZgjidhjeKemi f(x) = x3 dhe f(a) = a3. Prandaj, limx → af(x) – f(a)x – a = limx → ax3 – a3x – a= limx → a (x2 + ax + a2) = 3a2, d.m.th. f’(a) = 3a2. Në mënyrë të ngjashme, derivati i funksionit y = f(u) në pikën u1 do të jetë lim u → u1f(u) – f(u1)u– u1. VërejtjeNëse ekziston limiti i njëanshëm i majtë i shprehjes f(x) – f(a)x – a, kur x → a, ai quhet derivat nga e majta i funksionit f në pikën a dhe shënohet f– (a).Nëse ekziston limiti i njëanshëm i djathtë i shprehjes f(x) – f(a)x – a, kur x → a, ai quhet derivat nga e djathta i funksionit f në pikën a dhe shënohet f+ (a). Atëherë f– (a) dhe f+ (a) quhen derivate të njëanshme të funksionit f. Dimë se: që funksioni të ketë limit kur x → a duhet e mjafton që të ekzistojnë të dyja limitet e njëanshme të tij në pikën a dhe ato të jenë të barabarta. Prandaj, mund të themi:Që funksioni f të ketë derivat në pikën a, duhet e mjafton që të ekzistojnë derivatet e njëanshme të tij në pikën a dhe ato të jenë të barabarta.