Page 178 - Demo

176MATEMATIKA 12Shembulli 2Të gjendet derivati i funksionit f: y = {4x – 1 për x ≥ 2x2 për x < 2 në një pikë të çfarëdoshme x. ZgjidhjeNë një pikë x të tillë që x > 2, kemi f’(x) = (4x – 4)’ = 4. Në një pikë x të tillë që x < 2, kemi f’(x) = (x2)’ = 2x. Le të shohim nëse është i derivueshëm funksioni në pikën x = 2. Pra, a ekziston limx → 2f(x) – f(2)x – 2 ? Shqyrtojmë limitet e njëanshme në pikën x = 2, d.m.th. shohim nëse ekzistojnë dhe janë të barabarta derivatet e njëanshme të funksionit në pikën x = 2. Për x > 2, kemi f(x) = 4x – 4 dhe f(2) = 4 · 2 – 4 = 4. Prandaj, lim x → 2+f(x) – f(2)x – 2 = lim x → 2+(4x – 4) – 4x – 2 = lim x → 2+4(x – 2)x – 2 = 4. Pra, f+ (2) = 4)Për x < 2 kemi f(x) = x2, kështu që: lim x → 2–f(x) – f(2)x – 2 = lim x → 2–x2 – 4x – 2 = lim x → 2– (x + 2) = 4. Pra, f– (2) = 4)Meqenëse limitet e njëanshme dolën të barabarta (f+ (2) = f– (2) = 4), ekziston limx → 2f(x) – f(2)x – 2 = 4, d.m.th. ekziston f’(2) = 4. II.A është e mundur që një funksion të ketë derivat në pikën a dhe të mos jetë i vazhdueshëm në këtë pikë? Kësaj pyetjeje i jep përgjigje (mohuese) teorema e mëposhtme.TeoremëNë qoftë se funksioni f është i derivueshëm në pikën a, atëherë ai është i vazhdueshëm në pikën a. VërtetimPër x ≠ a mund të shkruajmë f(x) – f(a) = f(x) – f(a)x – a · (x – a) (1). Meqenëse, sipas kushtit, funksioni f ka derivat në pikën a, ekziston limx → af(x) – f(a)x – a = f’(a). Veç kësaj, limx → a (x – a) = 0. Ana e djathtë e barazimit (1) është prodhim dy faktorësh që kanë limit, kur x → a, prandaj në bazë të teoremës për limitin e prodhimit, ekziston limx → a [f(x) – f(a)] = f’(a) · 0 = 0. Meqë f(x) = [f(x) – f(a)] + f(a) dhe limx → a [f(x) – f(a)] = 0, atëherë nga teorema mbi limitin e shumës rrjedh limx → a f(x) = f(a), d.m.th. f është i vazhdueshëm në pikën a, çfarë deshëm të vërtetonim. Vërejtje Fjalia “Funksioni i vazhdueshëm në pikën a është i derivueshëm në pikën a” nuk është teoremë. Pra, nga vazhdueshmëria e funksionit në një pikë, nuk rrjedh domosdo derivueshmëria e tij në atë pikë, gjë për të cilën u bindëm në ushtrimin e rubrikës A.