Page 180 - Demo

178MATEMATIKA 127.5 Rregullat e derivimitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)a) Njehsoni derivatin në pikën x për secilin nga funksionet y = x2 dhe y = 3x – 1. b) Njehsoni derivatin në pikën x për shumën e këtyre dy funksioneve y = x2 + (3x – 1). c) Njehsoni derivatin në pikën x ≠ 0 për secilin nga funksionet y = 1x , y = 2x ,si dhe për shumën e tyre y = 3x . Ç’vini re? Nxirrni një përfundim përgjithësues! B Vrojtoni dhe mësoniNjehsimi i derivatit të funksionit në një pikë, drejtpërdrejt sipas përkufizimit, shpesh është një punë e gjatë dhe e vështirë. Për këtë arsye, në shumicën e rasteve ndiqet një rrugë tjetër, që mbështetet në: 1. njehsimin e derivateve të disa funksioneve të njohura, si p.sh. y = c, y = x, y = x2, y = x3, y = x , y = 1x etj.; 2. njehsimin e derivatit të funksionit të dhënë, kur ai jepet si shumë, prodhim, raport etj. funksionesh të njohura, me anë të disa rregullave që do t’i shohim më poshtë. Teorema 1Në qoftë se f, g janë dy funksione të derivueshme në një interval I, atëherë edhe shuma e tyre s = f + g është një funksion i derivueshëm në intervalin I dhe për çdo x∈I kemi: s’(x) = f’(x) + g’(x). Shkurt, shkruajmë (f + g)’ = f’ + g’, për çdo x∈I. VërtetimLe të jetë x një pikë çfarëdo e intervalit I. Për të treguar që funksioni s ka derivat në pikën x, mjafton të tregojmë që ekziston limiti:limh → 0s(x + h) – s(x)h . Kemi s(x) = f(x) + g(x) dhe s(x + h) = f(x + h) + g(x + h). Prandaj, s(x + h) – s(x) = [f(x + h) – f(x)] + [g(x + h) – g(x)]. Prej këtu nxjerrim: s(x + h) – s(x)h = f(x + h) – f(x)h + g (x + h) – g(x)h (1). Meqë funksionet f, g, sipas kushtit, kanë derivat në pikën x, kjo do të thotë që ekzistojnë limitet: limh → 0f(x + h) – f(x)h = f’(x) dhe limh → 0g(x + h) – g(x)h = g’(x). Barazimi (1), në bazë të teoremës për limitin e shumës, tregon se: limh → 0s(x + h) – s(x)h ekziston dhe është f’(x) + g’(x). Pra, funksioni s = f + g është i derivueshëm në pikën xdhe s’(x) = f’(x) + g’(x). Çfarë deshëm të vërtetonim. Shembulli 1Funksioni s: y = x2 + x është shumë e funksioneve: y = x2 dhe y = x , të derivueshme në ]0, +∞[, pra është i derivueshëm në intervalin ]0, +∞[, dhe për çdo x∈]0, +∞[, kemi: s’(x) = (x2)’ + ( x )’,d.m.th. s’(x) = 2x + 12 x . Në veçanti, derivati i funksionit s në pikën x = 4 është s’(4) = 2 · 4 + 12 x , d.m.th. s’(4) = 8 + 14 = 8,25.