Page 181 - Demo

7. DERIVATI179VërejtjeTeorema 1 mbetet e vërtetë edhe kur numri i funksioneve të derivueshme që mblidhen është numër i fundmë, më i madh se 2. Kështu, nëse funksionet f1, f2, f3 janë të derivueshme në intervalin I, atëherë edhe funksioni f1 + f2 + f3 ka derivat në çdo pikë x∈I dhe ky derivat është f’1(x) + f’2(x) + f’3(x). Teorema 2Nëse funksionet f, g janë të derivueshme në një interval I, atëherë edhe prodhimi i tyre p = f · g është i derivueshëm në I dhe për çdo x∈I, kemi: p’(x) = f’(x) · g (x) + f(x) · g’(x). Shkurt, shkruajmë: (f · g)’ = f’ · g + f · g’. Teoremën do ta pranojmë pa vërtetim. Shembulli 2 Funksioni u: y = x3 · x ka bashkësi përcaktimi [0, +∞[. Ai mund të shkruhet si prodhim dy funksionesh u = f · g, ku f: y = x3 dhe g: y = x (që janë të derivueshme në ]0, +∞[). Sipas teoremës 2, funksioni uështë i derivueshëm në ]0, +∞[. Në çdo pikë të këtij intervali, kemi: u’(x) = (x3)’· x + x3 · ( x )’ = 3x2 · x + x3 · 12 x= x2(3 x + x2 ) = 72 x2 · x . Në veçanti u’(1) = 72 · 12 · 1 = 72. Rrjedhimi 1Nëse funksioni f është i derivueshëm në intervalin I dhe c është një konstante, atëherë edhe funksioni c · f është i derivueshëm në intervalin I dhe (c · f)’ = c · f’. Vërtetoni këtë rrjedhim të teoremës 2, duke mbajtur parasysh që c’ = 0.Shembulli 3Dimë që funksioni f: y = x3 është i derivueshëm në R. Atëherë edhe funksioni y = 13 x3 (d.m.th. funksioni13 f) është i derivueshëm në R dhe (13 x3)’ = 13 (x3)’ = 13 (3x2) = x2, për çdo x∈R. Rrjedhimi 2Nëse f është funksion i derivueshëm në intervalin I dhe n∈N, atëherë f n është funksion i derivueshëm në intervalin I dhe derivati i tij është (f n)’ = n · f n – 1 · f’. Këtë rrjedhim do ta pranojmë pa vërtetim. Shembulli 4Funksioni g: y = (x2 – 2x – 3)4 mund të shkruhet g = f 4, ku f: y = x2 – 2x – 3. Kemi f’(x) = 2x – 2 për çdo x∈R. Meqë f është i derivueshëm në R, edhe g është i derivueshëm në R dhe në çdo pikë x∈R kemi g’(x) = 4 · f 3(x) · f’(x), pra: g’(x) = 4 ·(x2 – 2x – 3)3 · (2x – 2).Rrjedhimi 3Funksioni y = xn, ku n∈N, ka derivat në çdo pikë x∈R dhe ky derivat është n · xn – 1.Me të vërtetë, zbatojmë rrjedhimin 2, duke marrë si funksion f funksionin y = x. Kemi: (xn)’ = n · xn – 1 · x’, d.m.th. (xn)’ = n · xn – 1 (sepse x’ = 1).