Page 183 - Demo

7. DERIVATI1817.6 Rregullat e derivimit (vazhdim)A Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. Gjeni derivatin në pikën x të funksionit y = x4 + (2x2 – 3x + 7).2. a) Gjeni derivatin në pikën x të funksioneve y = x2 dhe y = 1x2 + 1. b) Gjeni derivatin në pikën x të prodhimit të tyre, d.m.th. të funksionit y = x2( 1x2 + 1).c) Gjeni derivatin në pikën x të funksionit y = x2x2 + 1. Ç’vini re?B Vrojtoni dhe mësoniDerivati i një funksioni y = f(x), ku f(x) është polinomShembulli 1Le të shqyrtojmë f: y = x4 + 13 x3 – 2x + 3, ku f(x) është polinom. Është e qartë që f është shuma e 4 funksioneve që janë të derivueshme në R (y = x4, y = 13 x3, y = –2x, y = 3). Sipas teoremës për derivatin e shumës, në çdo pikë x∈R, kemi: f’(x) = (x4)’ + (13 x3)’ + (–2x)’ + ( 3)’ d.m.th. f’(x) = 4x3 + 13 (x3)’ – 2(x)’ + 0. Pra, f’(x) = 4x3 + x2 – 2. Shohim se derivati i f është funksioni f’: y = 4x3 + x2 – 2, ku f ' (x) është përsëri polinom, por i një fuqie një njësi më të ulët. Kjo ndodh për çdo polinom.Derivati i raportitLe të jenë f, g dy funksione të derivueshme në intervalin I, në të cilin vlerat e funksionit g janë të ndryshme nga zero (pra, g(x) ≠ 0 për çdo x∈I). Ka vend kjo teoremë: Teorema 3Nëse funksionet f, g janë të derivueshme në intervalin I dhe për çdo x∈I kemi g(x) ≠ 0, atëherë funksionifg është i derivueshëm në I dhe fg' = f 'g – fg'g2 . Shembulli 2Duke zbatuar teoremën 3, për funksionin y = x2x2 + 1 në çdo pikë x∈R do të kemi: y’(x) = (x2)'(x2 +1) – x2 (x2 + 1)'(x2 + 1)2 = 2x (x2 +1) – x2 · 2x(x2 + 1)2 = 2x(x2 + 1)2 .Derivati i funksionit racionalShqyrtoni funksionin racional f: y = x3 +x2 + x +1x2 – 1 . a) A janë të derivueshme në R funksionet y = x3 + x2 + x + 1 dhe y = x2 – 1? Pse? b) Në cilën bashkësi është i derivueshëm funksioni f dhe pse?c) Gjeni f’(x). Çdo funksion racional ka trajtën y = f(x)g(x), ku f(x) dhe g(x) janë dy polinome.