Page 185 - Demo

7. DERIVATI1837.7 Tangjentja në një pikë të vijës (Kuptimi gjeometrik i derivatit)A Kërkoni dhe zbuloni1. Në grafikun e funksionit y = x2, gjeni pikat me abshisa 1 dhe 1 + h.2. Gjeni koeficientin këndor të drejtëzës që kalon nëpër këto dy pika.3. Gjeni limitin e këtij koeficienti kur h shkon në zero.B Vrojtoni dhe mësoniLe të kemi funksionin f të përcaktuar në intervalin I dhe le të jenë a, a + h dy pika të intervalit I. Funksionin f e supozojmë të derivueshëm në pikën a. Le të jenë A dhe M pikat e grafikut të funksionit f, me abshisa përkatësisht a dhe a + h (figura 7.3). Ordinatat e tyre janë yA = f(a) dhe yM = f(a + h). Koeficienti këndor i drejtëzës AM është kAM = yM – yAxM – xA = f(a + h) – f(a)(a + h) – a . Pra, kAM = f(a + h) – f(a)h . Me ndryshimin e h, ndryshon pozicioni i pikës M, pra edhe pozicioni i drejtëzës (AM). Sa më afër zeros të jetë h, aq më afër pikës AM është pika M dhe aq më tepër pozicioni i (AM) i përgjigjet idesë që ekziston për tangjenten (kjo përfytyrohet si “pozicioni kufi” i prerësve (AM), kur pika M i afrohet pambarimisht pikës A). Prandaj është i natyrshëm ky përkufizim: PërkufizimTangjente në pikën A të grafikut quhet drejtëza që kalon nga A dhe ka për koeficient këndor limitin e koeficientit këndor të prerëses (AM), kur h → 0.Kështu, koeficienti këndor i tangjentes në pikën A është k = limh → 0f(a + h) – f(a)h , d.m.th. k = f’(a). Kështu, tangjente e grafikut të funksionit (të derivueshëm) f në pikën A (me abshisë a) është drejtëza që plotëson dy kushte: 1. kalon nga pika A; 2. e ka koeficientin këndor f’(a). Ekuacioni i kësaj tangjenteje është y – yA = k(x – xA), d.m.th. y – f(a) = f’(a)(x – a). Duke përmbledhur, themi që kuptimi gjeometrik i derivatit është: Derivati i funksionit f në pikën a, kur ai ekziston, është i barabartë me koeficientin këndor të tangjentes ndajgrafikut të funksionit f në pikën A me abshisë a.Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i tangjentes së grafikut të funksionit f: y = x2 në pikën e tij me abshisë 3. Zgjidhje: Kemi f(3) = 32 = 9. Meqë f’(x) = 2x, kemi f’(3) = 6. Prandaj, ekuacioni i tangjentes është: y – 9 = 6(x – 3), d.m.th. 6x – y – 9 = 0. Fig. 7.3y0 a a + h xAM