Page 188 - Demo

186MATEMATIKA 127.8 Derivatet e funksioneve logaritmike, funksioneve fuqi dhe atyre eksponencialeA Kërkoni dhe zbuloniGjeni, sipas përkufizimit, derivatin e funksionit y = lnx në pikën x = 1.B Vrojtoni dhe mësoniTeoremëFunksioni logaritmik f: y = loga x (ku a > 0 dhe a ≠ 1) ka derivat në çdo pikë x (ku x > 0) dhe ky derivat është 1x · 1na.VërtetimNë pikën x (ku x > 0) kemi f(x) = logax, kurse në pikën x + h (x + h > 0) kemi f(x + h) = loga(x + h). Duke përdorur vetinë për logaritmin e raportit, marrim: f(x + h) – f(x) = loga( x + hx ), që nga f(x + h) – f(x)h = 1h loga (1 + hx ).Duke shumëzuar dhe pjesëtuar anën e djathtë me x (x > 0), marrim: f(x + h) – f(x)h = 1x · xh · loga (1 + hx ). Duke përdorur vetinë për logaritmin e fuqisë [α · loga b = loga (bα), arrijmë barazimin: f(x + h) – f(x)h = 1x · log 1 + hxxh (1)Dimë që limt → 0 (1 + t)1t = e. Shënojmë hx = t (që nga xh = 1t) dhe mbajmë parasysh që, për x > 0, kushti h → 0 është i njëvlershëm me kushtin t → 0. Kemi: limh → 01 + hxxh = limt → 0 (1 +t)1t = eMeqenëse kur h → 0, 1 + hxxh → e, atëherë loga [ 1 + hxxh] → loga e, sepse funksioni logaritmik është ivazhdueshëm në pikën e (d.m.th. kur u → e, loga u = loga e). Pra, limh → 0 loga 1 + hxxh = loga eNga barazimi (1) nxjerrim që: limh → 0f(x + h) – f(x)h = limh → 0 [ 1x · loga 1 + hxxh] = 1x · loga eKjo do të thotë që funksioni f: y = loga x ka derivat në pikën x (x > 0) dhe f’(x) = 1x loga e. Meqenëse logae = 1ln a , kemi f’(x) = 1x lna , çfarë deshëm të vërtetonim. RrjedhimDuke mbajtur parasysh se logex = lnx, del që funksioni y = lnx ka derivat në çdo pikë x (x > 0) dhe që (lnx)’ = 1x .