Page 189 - Demo

7. DERIVATI187USHTRIMEDerivati i funksionit eksponencialTeoremëFunksioni eksponencial y = ax (ku a > 0 dhe a ≠ 1) në çdo pikë x∈R ka derivat dhe ky derivat është ax ·lna. Pra, (ax)’ = a x. lna (2)Rast i veçantë. Kur a = e, kemi funksionin y = ex. Derivati i tij në pikën x është ex . lne = ex. Pra, (ex)’ = ex. Derivati i funksionit fuqiTeoremëFunksioni fuqi y = xa (ku α∈R) në çdo pikë x (x > 0) ka derivat dhe ai është αxα – 1, d.m.th. (xa) = αxα – 1.C Ushtrohuni duke zbatuar1 Gjeni derivatin e funksionit y = logx në pikat x = 1, x = 10, x = 100.2. Gjeni derivatin e funksionit: a) y = x . ex; b) y = x2lnx, në një pikë x > 0.3. Gjeni në pikën x > 0 derivatin e funksionit: a) y = x3 ; b) y = x ; c) y = 1x3 4 .1 Njehsoni derivatin në pikën x (x > 0) për funksionin: a) y = –2 · lnx; b) y = 2x2 – lnx;c) y = 1nxx ; d) y = x2 · lnx;e) y = (lnx)3; f) y = 3 · (logx)2.2 Gjeni derivatin në pikën x për funksionin: a) y = x2 · 3x; b) y = (x2 – 2x)ex .3 E njëjta kërkesë për funksionin: a) y = ex1 + ex ; b) y = (3 + ex)4; c) y = x · ex.4 Shkruani ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut të funksionit f në pikën me abshisën e treguar: a) y = lnx a = 1; b) y = (lnx)2 a = e; c) y = ex a = 0; d) y = x · ex a = –1.5 Duke shkruar funksionin e mëposhtëm në trajtën y= xa, gjeni derivatin e tij në pikën x (x > 0):a) y = x 3 ; b) y = x2 3 ; c) y = 1x 3 ;d) y = 1x4 3 ; e) y = x2 · x ; f) y = xx2 3 .6 Perioda e lëkundjeve të një lavjerrësi me gjatësi xjepet nga formula: T = 2π xg (g - nxitimi i rënies së lirë). Gjeni shpejtësinë e ndryshimit të g me rritjen e x në çastin kur x = 14 g. 7 Drejtëza (d) është tangjente ndaj hiperbolës y = 9xnë pikën me abshisë 3. a) Shkruani ekuacionin e drejtëzës (d).b) Gjeni pikat ku ajo drejtëz pret boshtet koordinative. c) Gjeni syprinën e trekëndëshit të formuar. 8 Njehsoni koeficientin këndor të tangjentes ndaj grafikut të funksionit të dhënë në pikën me abshisë:a) y = x2 – 163 a = 0;b) y = 4 x a = 25;c) y = – 12xa = –3. 9 Në cilën pikë tangjentja ndaj grafikut të funksionit f është paralele me drejtëzën y = x + 1, ku f është funksioni:a) y = 2 x3 ; b) y = 12x; c) y = 14 x4.10 Shqyrtoni grafikun e funksionit f: y = 25 − x2. a) Tregoni që ky grafik është një gjysmërreth me qendër O dhe me rreze 5. b) Gjeni me rrugë gjeometrike ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut në pikën A(3; 4). c) Gjeni f’(3).