Page 190 - Demo

188MATEMATIKA 127.9 Derivatet e funksioneve trigonometrikeA Kërkoni dhe zbuloniGjeni, sipas përkufizimit, derivatin në pikën x = 0 për funksionin:a) y = sinx; b) y = cosx.B Vrojtoni dhe mësoniDerivati i funksionit y = sin xTeoremëFunksioni f: y = sinx në çdo pikë xÎR ka derivat dhe ky është f’(x) = cosx.Pra, (sinx)’ = cosx.VërtetimKemi f(x) = sinx dhe f(x + h) = sin(x + h)f(x + h) – f(x) = sin(x + h) – sinxf(x + h) – f(x) = (sinx · cos h + cosx · sin h) – sinxf(x + h) – f(x) = sinx(cos h – 1) + cosx · sin hf(x + h) – f(x)h = sin x · cos h – 1h + cos x · sin hh (2)Kemi limh → 0cos h – 1h = 0, prandaj limh → 0 sinx · cosh – 1h = (sin x) · 0 = 0 (pse?).Kemi limh → 0sinhh = 1, prandaj limh → 0 cos x · sin hh = (cos x) · 1 = cos x (pse?).Në bazë të teoremës mbi limitin e shumës dhe në sajë të barazimit (2), nxjerrim që ekziston limh → 0f(x + h) – f(x)h = 0 + cos x = cos x.Kjo do të thotë që funksioni f: y = sinx ka derivat në pikën x dhe f’(x) = cosx, çfarë deshëm të vërtetonim.Derivati i funksionit y = cos xTeoremëFunksioni f: y = cosx ka derivat në çdo pikë xÎR dhe ky derivat është f’(x) = –sinx. Pra, (cosx)’ = –sinx.Vërtetoni këtë teoremë, në mënyrë të ngjashme me atë që u përdor gjatë vërtetimit të teoremës së mëparshme, duke përdorur barazimin:cos(x + h) = cosx × cos h – sinx × sin hDerivatet e funksioneve y = tgx; y = cotgxTeoremëNë çdo pikë xÎR, ku cosx ¹ 0, funksioni y = tgx ka derivat dhe ky është 1cos2 x.Pra, (tgx)’ = 1cos2 x.