Page 191 - Demo

7. DERIVATI189USHTRIMEVërtetim Në çdo pikë x, ku cosx ¹ 0 (d.m.th. ku x ¹ k · π + π2, k∈Z ) mund të shkruajmë tgx = sinxcos x . Prandaj, derivatin e funksionit y = tgx mund ta gjejmë në bazë të teoremës për derivatin e raportit:sin xcos x ' = (sinx)' · cos x – sin x · (cos x)'cos2 x = cos x · cos x – sin x · (–sin x)cos2 x = cos2 + sin2 xcos2 x = 1cos2 xÇfarë deshëm të vërtetonim.P.sh. derivati i funksionit y = tgx në pikën x = π është 1cos2 π = 1(–1)2 = 1.VërejtjeNë ushtrimin e mëparshëm, vërtetuam se funksioni y = cotgx, në çdo pikë x, ku sinx ¹ 0 (d.m.th. në çdo pikë x ¹ kπ, kÎZ), ka derivat dhe ky është –1sin2 x. Pra, (cotgx)’ = –1sin2 x.C Ushtrohuni duke zbatuar1. a) Gjeni derivatin e funksionit y = sinx në pikën x = π2.b) Gjeni derivatin e funksionit y = sin π2.2. Tregoni që në çdo pikë ku sin x ¹ 0 ekziston derivati i funksionit y = cos xsinx dhe është y’(x) = –1sin2 x .3. Gjeni derivatin në pikën x = 0 për funksionin y = x · sinx.1 Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:a) y = sinx + cosx; b) y = sinx × cosx; c) y = (1 – cosx)3.2 E njëjta kërkesë për funksionin:a) y = x2 × cosx; b) y = 1 – sinx1 + sin x;c) y = x2sinx; d) y = tg2x.3 Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:a) y = sin2x; b) y = cos2x; c) y = cos2 x2 – sin2 x2; d) y = cos2 x2 + sin2 x2.4 Gjeni për ç’vlera të x bëhet 0 derivati i funksionit:a) y = x – cosx; b) y = 12 x – sin x; c) y = x – tgx.5 Gjeni f’(0) dhe f’(π) në rast se f:a) y = 12 cos(x – π); b) y = 3sin x – π2 .6 Gjeni derivatin e funksionit:a) y = cos2x × cosx + sin2x × sinx;b) y = sin2x × cosx – cos2x × sinx.7 Duke përdorur barazimin e përafërt f(x + h) » f(x) + h × f’(x), gjeni:a) cos π2 + 0, 04 ; b) sin π3 – 0,002 ;c) sin(0,002); d) cos(0,057).