Page 192 - Demo

190MATEMATIKA 127.10 Derivatet e rendeve të larta. Diferenciali i funksionitA Kërkoni dhe zbuloni1. Gjeni f’(x) në pikën x për funksionin:a) y = sinx; b) y = lnx, (x > 0); c) y = ex.2. Gjeni derivatin në pikën x për funksionin e dhënë me formulën y = f’(x) të gjetura më sipër.B Vrojtoni dhe mësoniI.Shembulli 1Shqyrtojmë funksionin f: y = x3 – 5x2 + 6x – 3. Ky funksion në çdo pikë x∈R ka derivat dhe f’(x) = 3x2 – 10x + 6. Nga ana e vet, funksioni f’: y = 3x2 – 10x + 6 ka në çdo pikë x∈R derivat dhe ky është 6x – 10. Pikërisht derivatin e funksionit f’ në pikën x (derivatin e derivatit të parë) ne e quajmë derivat të dytë të funksionit f në pikën x dhe e shënojmë me f”(x). Në rastin tonë kemi: f”(x) = 6x – 10.Në përgjithësi, le të kemi një funksion f: y = f(x) të derivueshëm në një interval I. Në qoftë se ekziston derivati i funksionit f’ ku f’: y = f’(x) në pikën x∈I, ai quhet derivat i dytë (ose derivat i rendit II) i funksionit f në pikën x dhe shënohet f”(x).Zbatim në fizikëTa zëmë se pika materiale kryen lëvizje drejtvizore sipas ligjit x = x(t). Kemi parë se shpejtësia e lëvizjes së pikës në çastin t është x’(t). Kemi pra v = x’(t). Nxitimi në çastin t (që përfaqëson shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë v) është sa derivati v’(t) i funksionit v = x’(t) në çastin t, d.m.th. sa x”(t). Pra, nxitimi i pikës materiale në lëvizjen drejtvizore është sa derivati i dytë i funksionit x në lidhje me kohën. Shkruajmë: a(t) = v’(t) = x’’(t).Shembulli 2Abshisa e pikës materiale që kryen lëvizje sipas boshtit Ox ndryshon sipas ligjit x = 3sint + 1, ku x matet në m dhe koha në sek. Gjeni shpejtësinë dhe nxitimin pas 1,5 sek.ZgjidhjeVëmë në dukje se 1,5 ≈ π2. Kemi: x’(t) = 3cost dhe x”(t) = (3cost)’ = –3sint.Shpejtësia në çastin 1,5 sek është afërsisht e barabartë me: x’( π2) = 3·cos π2 = 0 m/s.Nxitimi në çastin 1,5 sek është afërsisht i barabartë me: x”( π2) = –3·sin( π2) = –3m/s2.Në përgjithësi, derivati i rendit n i funksionit f në pikën x quhet derivati i derivatit të rendit (n – 1) në pikën x. Ai shënohet f(n)(x). Funksioni x → f (n)(x), shënohet f (n).Nganjëherë derivatin f’(x) e quajmë derivat të rendit të parë të funksionit f në pikën x.