Page 193 - Demo

7. DERIVATI191II.Le të jetë f: y = f(x) një funksion i përcaktuar në intervalin I dhe i derivueshëm në pikën a∈I. Ta zëmë se h ≠ 0 dhe (a + h)∈I.Përkufizim: Prodhimi f’(a) · h quhet diferencial i funksionit f në pikën a dhe shënohet me njërën nga shenjat d f(a) ose dy(a). Pra, d f(a) = f’(a) · h ose dy(a) = f’(a) · h.Nëse f është i derivueshëm në pikën e çfarëdoshme x të intervalit I, atëherë: df(x) = f’(x) · h ose dy(x) = f’(x) · h.Shqyrtojmë në veçanti funksionin y = x. Duke ditur që y’(x) = 1 për çdo x ∈R, mund të shkruajmë: dy = 1 · h. Pra, (meqenëse y = x) dx = 1 · h. Pra, df(x) = f’(x) · dx (është zëvendësuar h me dx) ose dy(x) = y’(x) · dx. Prej këtej del që: y’(x) = dy(x)dx ; ose f’(x) = dydx .Shembulli 3Të gjendet diferenciali i funksionit f: y = x2 – 1 në pikën x dhe në pikën x = 2.ZgjidhjeMeqenëse f’(x) = 2x dhe f’(2) = 4, shkruajmë df(x) = 2x · dx dhe df(2) = 4 · dx.Shembulli 4Të vërtetohen barazimet:a) x3 · dx = 14 d (x4)b) sinx · dx = – d (cos x)Zgjidhje:a) Në anën e djathtë, d(x4) përfaqëson diferencialin në pikën x të funksionit f: y = x4.Meqenëse, f'(x) = 4x3, kemi: d(x4) = 4x3 · dx, që nga x3 · dx = 14 d (x4).b) Në anën e djathtë, d(cos x) përfaqëson diferencialin në pikën x të funksionit f: y = cos x.Meqenëse, f'(x) = –sinx kemi: d(cos x) = –sin x · dx, që nga sinx · dx = –d(cos x).Vërejtje Duke përdorur kuptimin e diferencialit, barazimi i përafërt (1) mund të shkruhet:f(x + h) ≈ f(x) + df(x), d.m.th. df(x) ≈ f(x + h) – f(x). Kështu, për vlera të h mjaft afër zeros, diferenciali i funksionit f në pikën x na jep një vlerë të përafërt për ndryshesën e funksionit f kur kalojnë nga pika x në pikën x + h.