Page 195 - Demo

7. DERIVATI1937.11 Derivati i funksionit të përbërëA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Janë dhënë funksionet g: u = 4x – 2 dhe f: y = u2:a) Tregoni që funksioni fog jepet me formulën y = (4x – 2)2.b) Tregoni që g(1) = 2. Gjeni derivatin e g në lidhje me x në pikën x1 = 1.d) Gjeni derivatin e y në lidhje me u në pikën u1 = 2.f) Gjeni drejtpërdrejt derivatin e funksionit të përbërë fog: y = (4x – 2)2 në pikën x1 = 1.E krahasoni atë me prodhimin y’u(2) · u’x(1). Ç’vini re?B Vrojtoni dhe mësoniShembulli 1Një ballon sferik po mbushet me ajër. Në një çast të caktuar, rrezja e tij është 10 cm dhe po rritet me shpejtësinë 0,2 cm/s. Me çfarë shpejtësie rritet syprina e ballonit?ZgjidhjeDimë që syprina e ballonit shprehet nëpërmjet rrezes së tij me formulën: S = 4πr2. Në çastin e shqyrtuar t1 shpejtësia e rritjes së rrezes (shpejtësia e ndryshimit të rrezes lidhur me kohën) jepet nga derivati r’(t1) dhe ajo është e njohur: r’(t1) = 0,2 cm/s.Shpejtësia e ndryshimit të syprinës lidhur me rrezen jepet nga derivati i S në lidhje me r. Kemi: S’(r) = (4πr2)’ = 8πr. Kur rrezja është r1 = 10 cm, kjo shpejtësi është S’(r1) = 8π · 10 = 80π (≈ 251). Prej nesh kërkohet shpejtësia e ndryshimit të syprinës në lidhje me kohën në çastin t1, d.m.th. S’(t1). Ajo do të gjendej lehtë nëse do të ishte e njohur varësia e S nga t, por në rastin tonë kjo varësi nuk njihet (sepse nuk njihet as ligji që jep ndryshimin e r nga t). Megjithatë S’(t1) mund të gjendet ndryshe. Siç do të shohim më poshtë, kemi:S’(t1) = S’(r1) · r’(t1), pra, S’(t1) = 251 · 0,2 ≈ 50,2 cm2/s.Shpesh, një funksion i dhënë mund të shkruhet si përbërje dy funksionesh fog, ku f dhe g janë funksione të derivueshme, me derivate që gjenden lehtë. Në këtë rast, ne mund të gjejmë thjesht derivatin e funksionit të përbërë fog. Ka vend teorema e mëposhtme, që ne do ta pranojmë pa vërtetim.Teoremëx1 gI J Ru f 1 y1Fig. 7.4Le të jetë g: u = u(x) një funksion i përcaktuar në intervalin I dhe f: y = f(u) një funksion i përcaktuar në intervalin J, që e përfshin bashkësinë e vlerave të u (fig. 7.4). Nëse g është i derivueshëm në lidhje me x në pikën x1 dhe f: y = f(u) është i derivueshëm, në lidhje me u, në pikën u1, ku u1 = u(x1), atëherë edhe funksioni i përbërë fog: y = f[u(x)] është i derivueshëm, në lidhje me x, në pikën x1 dhe ka vend barazimi: yx (x1) = yu (u1) · ux (x1).