Page 196 - Demo

194MATEMATIKA 12Shembulli 2 Funksioni y = (x2 – 5x + 3)2 është përbërje fog e dy funksioneve g: u = x2 – 5x + 3 dhe f: y = u2. Funksioni u = x2 – 5x + 3 është i derivueshëm në R dhe derivati i tij në pikën x1∈R është u’x(x1) = 2x1 – 5, kurse vlera e këtij funksioni në pikën x1 është u1 = x12 – 5 · x1 + 3.Funksioni f: y = u2 është i derivueshëm në lidhje me u në çdo pikë të R. Derivati i tij f’u(u) në pikën u është 2 · u, kurse derivati në pikën u1 do të jetë: 2 · u1, d.m.th. 2 · (x12 – 5x1 + 3).Prandaj, derivati i funksionit të dhënë në pikën x1 është:f’u(u1) · u’(x1) = 2u1 · (2x1 – 5) = 2(x12 – 5x1 + 3) · (2x1 – 5).VërejtjeNë rast se funksioni g: u = u(x) është i derivueshëm në pikën x, kurse funksioni f: y = f(u) është i derivueshëm në lidhje me u, në pikën u(x), atëherë funksioni i përbërë fog: y = f [u(x)] është i derivueshëm në pikën x dhe: yx = f u [u(x)] · u’(x).Shembulli 3Shqyrtojmë funksionin y = 2x − 6. Duke shënuar u = 2x – 6, kemi y = u. Dimë që u’(x) = 2 (për çdo x∈R) dhe y’u(u) = 12 u , kur u > 0).Pra, për x të tilla që u = 2x – 6 > 0 (d.m.th. për x > 3), kemi:y’x(x) = 12 u · u’(x) = 12 2x – 6 · 2 = 12x – 6 .RrjedhimNëse funksioni u = u(x) është i derivueshëm në pikën x, për të gjetur derivatin e funksionit të përbërë, në disa raste të veçanta mund të përdoret tabela e mëposhtme:Funksioni Derivati në lidhje me u, në pikën u Derivati në lidhje me x, në pikën xy = u y’(u) = 12 u y’(x) = 12 u · u’(x)y = uα (α∈R) y’(u) = α · uα – 1 y’(x) = α · uα – 1 · u’(x)y = sin u y’(u) = cos u y’(x) = cos u · u’(x)y = cos u y’(u) = –sin u y’(x) = –sin u · u’(x)y = eu y’(u) = eu y’(x) = eu · u’(x)y = ln u y’(u) = 1u y’(x) = 1u · u’(x)y = tg u y’(u) = 1cos2 u y’(x) = 1cos2 u · u’(x)Shembulli 4Derivati i funksionit y = sin2x në pikën x është: y’ = cos2x · (2x)’ = 2 · cos2x (rolin e u e luan 2x).