Page 198 - Demo

196MATEMATIKA 127.12 Derivati i funksionit të anasjellë (inversi)A Kërkoni dhe zbuloni1. Gjeni funksionin e anasjellë të funksioneve:a) y = 3x – 8; b) y = lnx; c) y = ax; d) y = 4 + 2x5 – x .2. Gjeni derivatet e funksioneve më lart dhe të anasjellëve të tyre. Ç’vini re?B Vrojtoni dhe mësoniLe të kemi funksionin f: y = f(x), që është bijeksion i intervalit ]a, b[ në intervalin ]c, d[. Dimë se ai ka funksion invers x = f – 1(y) të përcaktuar në ]c, d[.TeoremëNëse funksioni y = f(x) ka derivat në një pikë x0 të intervalit ]a, b[ dhe f’(x0) është i ndryshëm nga 0, atëherë funksioni invers x = f – 1(y) ka derivat në pikën përgjegjëse y0 (ku y0 = f(x0) dhe ka vend barazimi (f –1) '(y0) = 1f '(x0) .Nëse bëhet fjalë për një pikë çfarëdo x të ]a, b[ dhe pikën përgjegjëse të saj y në ]c, d[, shkruajmë (f –1) '(y) = 1f '(x), ose shkurt xy = 1yx.VërtetimShqyrtojmë funksionin e përbërë v = f – 1[f(x)], ku v = f – 1(y) dhe y = f(x). Sipas kuptimit të funksionit invers kemi, për çdo x nga ]a, b[, v(x) = x, prej ku v’(x) = 1. Duke përdorur për gjetjen e v’(x) rregullin për derivatin e funksionit të përbërë, kemi:(f –1) '(y0) = 1f '(x0) (f –1)y · fy = 1, prej ku del (f –1)y = 1f '(x).Shembulli 1Jepet funksioni: f(x) = x2 – 2x + 3 për x > 0. Të gjendet (f –1)'(6).Zgjidhje: Kemi: x2 – 2x + 3 = 6 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x = 3 Gjithashtu, f '(x) = 2x2 – 2 ⇒ f '(3) = 4. Atëherë, (f –1)'(6) = 1f '(3) = 14Derivati i funksionit y = arcsin xFunksioni y = arcsinx, x∈[–1, 1], është i anasjelli i funksionit x = siny, y∈[– π2 , π2 ]. Gjejmë derivatin e tij në një pikë çfarëdo të intervalit ]–1, 1[, sipas teoremës së mësipërme. Kemi:(arcsin x)' = 1(sin y)' = 1cos y . Duke shprehur cosy nëpërmjet x (siny), shkruajmë: cos y = 1 – sin2 y = 1 − x2 (para rrënjës është marrë shenja + sepse cosy > 0 në intervalin ]– π2 , π2 [). Kështu, në çdo pikë x të ]– π2 , π2 [ kemi (arcsinx)' = 11 – x2 .