Page 204 - Demo

202MATEMATIKA 128.1 Rrethi dhe ekuacioni i tijA Kërkoni dhe zbuloniMerrni në plan pikat Q(a; b) dhe M(x; y). Cili është kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që largesa e pikës M nga pika Q të jetë 5 njësi?B Vrojtoni dhe mësoniRreth quhet bashkësia e pikave të planit, të cilat kanë të njëjtën largesë nga një pikë fikse e planit.Pika fikse quhet qendër e rrethit. Atë e shënojmë me Q. Largesa e pikave të rrethit nga qendra e tij quhet rreze e rrethit. Rrezen e rrethit e shënojmë me r.Në plan zgjedhim një sistem koordinativ xOy. Shënojmë me a dhe b koordinatat e qendrës Q.Në rreth marrim një pikë të çfarëdoshme M(x; y). Nga përkufizimi, pika M është pikë e rrethit atëherë dhe vetëm atëherë kur QM = r. (1).Nga formula që jep largesën ndërmjet dy pikave, kemi:QM = (x – a)2 + (y – b)2 Meqë QM = r Þ QM2 = r2, kemi: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (2).Nga njëvlefshmëria e barazimeve (1) dhe (2) del se në qoftë se pika M(x; y) është pikë e rrethit, koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin (x - a)2 + (y - b)2 = r2 dhe anasjellas, në qoftë se koordinatat (x; y) të pikës M vërtetojnë ekuacionin (x – a)2 + (y – b)2 = r2, atëherë ajo pikë ndodhet në rreth. Në këtë mënyrë kemi provuar se ekuacioni i rrethit me qendër Q(a; b) dhe rreze r është (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Ky ekuacion quhet edhe ekuacioni më i thjeshtë i rrethit.Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i rrethit me qendër Q(1; –1) dhe rreze r = 3.ZgjidhjeKemi a = 1; b = –1 dhe r = 3. Ekuacioni i rrethit është (x – 1)2 + (y + 1)2 = 9.Shënim.Ekuacionit të rrethit (x – a)2 + (y – b)2 = r2 mund t’i japim një trajtë tjetër. Duke zhvilluar katrorët kemi: x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 . (3). Shënojmë –2a = A; –2b = B; a2 + b2 – r2 = C. Atëherë ekuacioni merr trajtën: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (4). Ky ekuacion quhet ekuacioni i përgjithshëm i rrethit. Vëmë re se ekuacioni (4) është ekuacion i fuqisë së dytë në lidhje me x, y me këto cilësi:1) Koeficientet e kufizave x2 dhe y2 janë të barabarta.2) Mungon kufiza me prodhimin x · y.Anasjellas shtrojmë pyetjen: në qoftë se plotësohen kushtet e mësipërme, a paraqet rreth ekuacioni (4)? Kësaj pyetjeje do t’i përgjigjemi duke zgjidhur shembujt e mëposhtëm.Q(a, b)M(x, y) rOyxFig. 8.1