Page 207 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI205Shembulli 2Të shkruhet ekuacioni i rrethit të paraqitur në fig. 8.7. ZgjidhjeVëmë re se AB është diametër i rrethit. Kemi AB = 7 – 1 = 6, nga ku r = AQ = 3. Gjithashtu Q(0; 4). Ekuacioni i rrethit është x2 + (y – 4)2 = 9.Shembulli 3Të shkruhet ekuacioni i rrethit me qendër pikën Q(4; 7), i cili është tangjent me drejtëzën d: 3x – 4y + 1 = 0.ZgjidhjeRrezja e rrethi është largesa QM e pikës Q nga drejtëza d (fig. 8.8).Kemi: QM = |3 · 4 – 4 · 7 + 1|9 + 16 = 155 = 3. Ekuacioni i rrethit është (x – 4)2 + (y – 7)2 = 9.Shembulli 4Të shkruhet ekuacioni i rrethit që e ka qendrën në drejtëzën d: x – y + 2 = 0 dhe kalon nga pikat A(3; 0) dhe B(–1; 2).ZgjidhjeEkuacioni i rrethit është (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Pikat A dhe B ndodhen në rreth, pra koordinatat e tyre vërtetojnë ekuacionin e rrethit. Kemi:Për pikën A: (3 – a)2 + (0 – b)2 = r2 (1)Për pikën B: (–1 – a)2 + (2 – b)2 = r2 (2) Nga barazimet (1) dhe (2), kemi:(3 – a)2 + (0 – b)2 = (–1 – a)2 + (2 – b)2 Þ9 – 6a + a2 + b2 = 1 + 2a + a2 + 4 – 4b + b2 Þ–8a + 4b + 4 = 0 Þ –2a + b + 1 = 0 (3)Qendra Q(a; b) e rrethit ndodhet në drejtëzën d: x – y + 2 = 0, pra koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin e kësaj drejtëze. Kemi: a – b + 2 = 0 (4) Koordinatat a dhe b të qendrës së rrethit janë zgjidhje të sistemit të formuar nga ekuacionet (3) dhe (4). {–2a + b + 1 = 0a – b + 2 = 0 ⇒ {a =3b =5⇒ Q(3;5). Duke zëvendësuar në ekuacionin (1), gjejmë r. Kemi:(3 – 3)2 + (0 – 5)2 = r2 Þr2 = 25. Ekuacioni i rrethit është: (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Të shkruhet ekuacioni i rrethit, në qoftë se pikat M(3; 9) dhe N(7; 3) janë skaje të një diametri të tij.2. Rrethi është tangjent me boshtet koordinative. Pikat e takimit janë në largesë a nga origjina e koordinatave. Të shkruhet ekuacioni i rrethit.QMdFig. 8.8Fig. 8.7(5; 5)M(1; 2) 5Oyx(1; 1)11122334455667788991010A 1B 7QOyx -2-1 -2 -1