Page 209 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI2078.3 Ekuacioni i tangjentes dhe pingules në një pikë të rrethitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)a) Shkruani ekuacionin e rrethit me qendër në origjinën e koordinatave dhe rreze 5 njësi.b) A ndodhet në këtë rreth pika A(3; 4)?c) Shkruani ekuacionin e drejtëzës OA.d) Shkruani ekuacionin e tangjentes së rrethit në pikën A.B Vrojtoni dhe mësoniJepet rrethi me ekuacion x2 + y2 = r2 dhe pika M1(x1; y1) në të. Të gjendet ekuacioni i tangjentes me rrethin në këtë pikë (fig. 8.12).Nga gjeometria dimë se në çdo pikë të rrethit hiqet një dhe vetëm një tangjente ndaj tij dhe se kjo tangjente është pingule me rrezen e rrethit që kalon nga kjo pikë.Shënojmë M(x; y) një pikë të çfarëdoshme të tangjentes. Kemi:OM1 = x1 − 0y1 − 0 = x1y1; M1M = x − x1y − y1.Vektorët M1M dhe OM1 janë pingulë, kështu që prodhimi numerik i tyre është i barabartë me zero. Kemi:M1M ⊥ OM1 ⇒ M1M · OM1 = 0 ⇒ (x – x1) · x1 + (y – y1) · y1 = 0 ⇒ x · x1 – x21 + y · y1 – y21 = 0 ⇒⇒ x · x1 + y · y1 = x21 + y21.Pika M1(x1; y1) është pikë e rrethit, prandaj x21 + y21 = r2. Duke zëvendësuar në barazimin e fundit, del se ekuacioni i tangjentes ndaj rrethit x2 + y2 = r2 në pikën M1(x1; y1) të tij ka trajtën x · x1 + y · y1 = r2.Shembulli 1Jepet rrethi me ekuacion x2 + y2 = 17 dhe pika P(4; 1).a) Të tregohet se pika P është pikë e rrethit.b) Të shkruhet ekuacioni i tangjentes ndaj rrethit në pikën P.Zgjidhjea) Zëvendësojmë koordinatat e pikës P në ekuacionin e rrethit. Kemi: 42 + 12 = 17, pra pika P është pikë e rrethit.b) Në ekuacionin e tangjentes zëvendësojmë x1 = 4 dhe y1 = 1. Kemi:x × 4 + y×1 = 17 Þ 4x + y – 17 = 0.Shënim.Pingule (normale) ndaj rrethit në pikën M1 të tij quhet drejtëza që kalon nga kjo pikë dhe është pingule me tangjenten e rrethit në pikën M1. Nga vetia e tangjentes del se vetë rrezja e rrethit është drejtëza pingule me tangjenten. Ekuacioni i saj gjendet si ekuacion i drejtëzës që kalon nëpër dy pika (qendra e rrethit dhe pika M1). Kemi:x – 0x1 – 0 = y – 0y1 – 0 ⇒ xx1 = yy1⇒ y = y1x1 · xFig. 8.12M(x, y)M1(x1, y1) rOyx