Page 211 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI2098.4 Kushti i tangjencës së drejtëzës dhe rrethitA Kërkoni dhe zbulonia) Sa pika të përbashkëta me rrethin x2 + y2 = 8 ka drejtëza y = x?b) A është kjo drejtëz tangjente me rrethin? Pse?B Vrojtoni dhe mësoniJepet rrethi x2 + y2 = r2 dhe drejtëza y = kx + t. Për të gjetur pikat e përbashkëta të tyre, zgjidhim sistemin e ekuacioneve:{x2 + y2 = r2y = kx + tDuke zëvendësuar y në ekuacionin e parë, kemi:x2 + (kx + t)2 = r2 Þ x2 + k2x2 + 2ktx + t2 – r2 = 0 ÞÞ x2(1 + k2) + 2ktx + (t2 – r2) = 0 (1)Përftohet në këtë mënyrë një ekuacion i fuqisë së dytë. Dallori i këtij ekuacioni është:D = (2kt)2 – 4(1 + k2)(t2 – r2) = 4k2t2 – 4t2 + 4r2 – 4k2t2 + 4k2r2 = 4(k2r2 + r2 – t2).Dallojmë tri raste:1) D < 0 Þ k2r2 + r2 – t2 < 0 Þ r2(k2 + 1) < t2. Ekuacioni (1) nuk ka rrënjë. Rrjedhimisht, rrethi dhe drejtëza nuk kanë pika të përbashkëta. Drejtëza nuk e pret rrethin (fig. 8.15).2) D > 0 Þ k2r2 + r2 – t2 > 0 Þ r2(k2 + 1) > t2. Ekuacioni (1) ka dy rrënjë. Rrjedhimisht, rrethi dhe drejtëza kanë dy pika të përbashkëta. Drejtëza e pret rrethin (fig. 8.16).3) D = 0 Þ k2r2 + r2 – t2 = 0 Þ r2(k2 + 1) = t2. Ekuacioni (1) ka vetëm një rrënjë. Drejtëza dhe rrethi kanë vetëm një pikë të përbashkët. Drejtëza është tangjente me rrethin (fig. 8.17).d d dBAA Fig. 8.15 Fig. 8.16 Fig. 8.17Në këtë mënyrë, kemi gjetur kushtin që drejtëza y = kx + t të jetë tangjente me rrethin x2 + y2 = r2. Ai është: r2 (k2 + 1) = t2.Shembulli 1Rrethi x2 + y2 = 5 është tangjent me drejtëzën y = 2x + t. Të gjendet t.ZgjidhjeZëvendësojmë në formulën r2 (k2 + 1) = t2. Kemi r2 = 5 dhe k = 2.5(4 + 1) = t2 Þ t2 = 25 Þt = ±5.