Page 212 - Demo

210MATEMATIKA 12Shembulli 2Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve ndaj rrethit x2 + y2 = 20, të cilat janë paralele me drejtëzën y = –2x + 3.ZgjidhjeEkuacioni i tangjentes së kërkuar është y = –2x + t (pse?). Zëvendësojmë në kushtin e tangjencës. Kemi:20(4 + 1) = t2 Þ t2 = 100 Þ t = ±10. Ekuacionet e tangjenteve të kërkuara janë y = –2x ± 10.Shembulli 3Jepet rrethi x2 + y2 = 10 dhe pika P(4; 2) jashtë tij. Të shkruhen ekuacionet e tangjenteve të ndërtuara nga pika P ndaj këtij rrethi.ZgjidhjeKërkohen ekuacionet e tangjenteve PA dhe PB (fig. 8.18).Ekuacioni i tangjentes ka trajtën y = kx + t. Tangjentja kalon nga pika P(4; 2), pra kemi:2 = 4k + t (1)Nga kushti i tangjencës së drejtëzës me rrethin, kemi:10(k2 + 1) = t2 (2) Të panjohurat k dhe t janë zgjidhje të sistemit të formuar nga ekuacionet (1) dhe (2).{4k + t = 210(k2 + 1) = t2 ⇒ {k1 = 3t1 = –10 ose k2 = – 13t2 = 103.Ekuacionet e tangjenteve janë y = 3x – 10 ose y = – 13 x + 103 .Shembulli 4Të gjendet gjatësia e tangjenteve ndaj rrethit (x – 2)2 + (y – 3)2 = 14 të ndërtuara nga pika M(7; 8).ZgjidhjeProvojmë që pika M ndodhet jashtë rrethit. Shënojmë me T dhe E pikat e takimit të tangjenteve me rrethin. Nga vetia e tangjentes, kemi QT^MT (fig. 8.19). QT = 14 (si rreze e rrethit). Gjejmë largesën e pikës M nga qendra Q e rrethit. Kemi:QM = (xM – xQ)2 + (yM – yQ)2 = (7 – 2)2 + (8 – 3)2 25 + 25 = 50Në trekëndëshin QMT kemi:MT2 = QM2 – QT2 = 50 – 14 = 36, nga ku MT = 6 njësi.Dimë se MT = ME = 6 njësi.Fig. 8.18OBPAyxFig. 8.19OTMEQyx