Page 214 - Demo

212MATEMATIKA 128.5 Elipsi dhe ekuacioni i tij A Kërkoni dhe zbuloniNë planin koordinativ janë dhënë pikat A(–3; 0) dhe B(3; 0). Shkruani kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm që pika M(x; y) e planit ta ketë shumën e largesave nga A dhe nga B 10 njësi.B Vrojtoni dhe mësoniElips quhet bashkësia e pikave të planit, shuma e largesave të të cilave nga dy pika të dhëna të planit (të quajtura vatra) është madhësi konstante (më e madhe se largesa ndërmjet vatrave).Për të nxjerrë ekuacionin e elipsit, zgjedhim si bosht të abshisave drejtëzën që bashkon dy vatrat, ndërsa origjinën e koordinatave e caktojmë në mesin e segmentit që bashkon vatrat (fig. 8.21).Shënojmë me 2c largesën ndërmjet vatrave F1 dhe F2. Atëherë kemi F1(–c; 0); F2(c; 0).Shënojmë M(x; y) një pikë të çfarëdoshme të elipsit. Segmentet MF1 dhe MF2 quhen rreze vatrore të pikës M. Gjatësitë e tyre i shënojmë me r1 dhe r2. Kemi:r1 = MF1 = (x + c)2 + y2; r2 = MF2 = (x – c)2 + y2 .Sipas përkufizimit të elipsit, shuma r1 + r2 = MF1 + MF2 është madhësi konstante. Duke e shënuar atë me 2a, kemi: MF1 + MF2 = 2a ose(x + c)2 + y2 + (x – c)2 + y2 = 2a (1)Në këtë mënyrë, koordinatat (x; y) të pikës së çfarëdoshme M të elipsit vërtetojnë ekuacionin (1). Pranojmë anasjellas që çdo pikë M(x; y), koordinatat e së cilës vërtetojnë ekuacionin (1), ndodhet në elips.Në këtë mënyrë, arrijmë në përfundimin që ekuacioni i elipsit është: (x + c)2 + y2 + (x – c)2 + y2 = 2aDuke bërë disa shndërrime të njëvlefshme, ekuacioni (1) merr trajtën:x2a2 + y2b2 = 1 ku b2 = a2 – c2, i cili quhet ekuacioni më i thjeshtë i elipsit.Ndërtimi praktik i elipsitSkajet e një fijeje spango me gjatësi 2a, i fiksojmë në vatrat F1 dhe F2. Meqë 2a > 2c, spangoja qëndron e lirë. Me majën e lapsit tendosim spangon dhe e lëvizim atë mbi një fletë letre. Gjurma e majës së lapsit gjatë kësaj lëvizjeje formon elipsin (fig. 8.22).Shembulli 1Të shkruhet ekuacioni i elipsit, duke ditur se largesa ndërmjet vatrave është 2c = 8, ndërsa shuma e rrezeve vatrore është 2a = 10.ZgjidhjeKemi 2c = 8 Þ c = 4; 2a = 10 Þ a = 5. Nga formula b2 = a2 – c2, kemi b2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 Þ b = 3.Ekuacioni i elipsit është x225 + y29 = 1.M (x, y)F2 (c, 0) F1 (–c, 0) Oyr1 r2xFig. 8.21F F1 2Fig. 8.22