Page 215 - Demo

8. VIJAT E GRADËS SË DYTË. RRETHI DHE ELIPSI213Forma e elipsit1. SimetriaEkuacioni x2a2 + y2b2 = 1 përmban vetëm katrorët e koordinatave x, y prandaj në qoftë se pika (x; y) ndodhetnë elips, edhe pikat (–x; y); (x; –y) dhe (–x; –y) ndodhen në elips. Rrjedhimisht, boshtet koordinative janë boshte simetrie për elipsin, ndërsa origjina e koordinatave është qendër simetrie e tij. Kjo quhet qendër e elipsit.2. Pikat e prerjes me boshtetDuke marrë y = 0, kemi x2a2 = 1 ⇒ x = ±a. Pikat A1(–a; 0) dhe A(a; 0) janë pikat e prerjes së elipsit me boshtin e abshisave. Duke marrë x = 0, kemi y2b2 = 1 ⇒ y = ±b . Pikat B1(0; –b) dhe B(0; b) janë pikat e prerjes së elipsit me boshtin e ordinatave. Segmentet A1A = 2a dhe B1B = 2b quhen përkatësisht boshti i madh dhe boshti i vogël i elipsit, ndërsa madhësitë a dhe b quhen përkatësisht gjysmëboshti i madh dhe gjysmëboshti i vogël i elipsit.3. Zona e vendosjes Nga ekuacioni x2a2 + y2b2 = 1 ⇒ x2a2 ≤ 1 ⇒ x2 ≤ a2 ⇒ –a ≤ x ≤ a, si dhe y2b2 ≤ 1 ⇒ y2 ≤ b2 ⇒ –b ≤ y ≤ b.Rrjedhimisht, elipsi ndodhet brenda brezit të kufizuar nga drejtëzat x = ±a dhe y = ±b.4. Forma e elipsitPër pjesën e elipsit që ndodhet në kuadratin e parë, kemi:y2b2 = 1 – x2a2 ⇒ y = baa2 – x2. Vëmë re se me rritjen e x nga zero në a, y zvogëlohet nga b në zero.Në këtë mënyrë, duke pasur parasysh edhe fig. 8.22, forma e elipsit në kuadratin e parë jepet në fig. 8.23/a, ndërsa e plotë në fig. 8.23/b.OB (0, b)A (a, 0)A (-a, 0) A (a, 0)B (0, b)B1 (0; -b)M (x, y)F1 (-c, 0) F2 (c, 0)r1r2yxOyx Fig. 8.23/a Fig. 8.23/bShembulli 2Të shkruhet ekuacioni i elipsit që kalon nga pika M(4; 1), boshti i vogël i të cilit është 6.ZgjidhjeKemi 2b = 6 Þ b = 3. Ekuacioni i elipsit është x2a2 + y29 = 1. Pika M ndodhet në elips, prandaj koordinatat e saj vërtetojnë ekuacionin e elipsit. Kemi:16a2 + 19 = 1 ⇒ a2 = 18. Ekuacioni i elipsit është x218 + y29 = 1.